Однако из того, что в число оснований, общих для всех доказательств данной науки, входят определения основных понятий данной науки, ещё не следует, будто определению подлежат все без исключения понятия данной науки. И действительно: определить — значит свести неизвестное к известному, сложное к простому. Но есть предметы настолько простые и настолько всем известные, что определить понятия об этих предметах невозможно. Всякая попытка такого определения приводит или к тому, что в определяющем повторяется определяемое (круг в определении), или к тому, что до определения понятное и ясное после определения становится непонятным и неясным.

Таким образом, задача науки в отношении определения понятий, входящих в основания доказательства, состоит в том, чтобы избежать двух противоположных ошибок: 1) не оставить не определёнными те понятия, которые должны быть определены, и 2) не пытаться понапрасну определять те понятия, которые по своей крайней простоте не могут быть определены.

Это правильное понимание задачи определения оснований доказательства хорошо сформулировал Паскаль. В небольшой работе «О геометрическом уме» (De l’esprit g'eom'etrique) Паскаль писал: «... порядок, совершеннейший у людей, состоит не в том, чтобы всё определять и всё доказывать, и не в том также, чтобы ничего не определять и ничего не доказывать; но в том, чтобы, держась среднего пути, не определять вещей, ясных и понятных всем людям, но определять все остальные, и не доказывать всех вещей, известных людям, но доказывать все остальные» [15] .

Поэтому число определений, входящих в основания доказательств данной науки и формулируемых в начале её изложения, обычно бывает невелико и без нужды не должно быть увеличиваемо.

Положения об удостоверенных фактах и определения входят в число оснований самых различных наук: естественных и общественных.

В математике, механике и теоретической физике кроме определений и удостоверенных фактов в число оснований доказательства входят ещё аксиомы, или постулаты. Так называются положения, которые предполагаются истинными, но в пределах каждой науки в качестве истинных не доказываются.

Так, доказательство теоремы евклидовой геометрии о равенстве суммы внутренних углов плоского треугольника двум прямым опирается не только на ранее доказанную теорему о равенстве суммы двух смежных углов двум прямым, но, кроме того, на теоремы о свойствах внутренних накрест лежащих и соответственных углов, которые в свою очередь опираются на положение, согласно которому через данную точку вне данной прямой в одной с ней плоскости можно провести одну — и притом только одну — прямую, которая ни при каком продолжении её в обе стороны от данной точки не пересечётся с данной прямой. Положение это уже не теорема, а аксиома (постулат). В «Началах» Евклида оно дано (в редакции, отличающейся от приведённой в тексте) в качестве 11-й аксиомы первой книги [16] .

Аксиомой (постулатом) это положение является потому, что в «Началах» Евклида оно принимается без доказательства. И действительно: положение это утверждает, что возможно неограниченно продолжить прямую так, чтобы последняя нигде не пересекалась с данной прямой. Но совершенно очевидно, что утверждение это не может быть проверено или доказано: как бы далеко мы ни продолжали прямую, продолжение её будет для нашего наглядного представления ограниченным. В лучшем случае можно сказать, что в тех пределах, в каких прямая продолжена нами, она сохраняет параллельность данной прямой. Но сохранит ли она параллельность и при дальнейшем, ещё нами не воспринятом неограниченном её продолжении,— это остаётся недоказанным.

Аристотель, создавший не только науку логики в целом, но и разработавший, в частности, логическое учение о доказательстве, отличал аксиомы от другого вида недоказываемых наукой положений — от постулатов. Под аксиомами он разумел такие недоказываемые в данной науке положения, которые в сравнении с другими недоказываемыми положениями являются, во-первых, наиболее общими и, во-вторых, представляют необходимое условие доказательства. Так, в «Метафизике» (кн. III, гл. 2, 997а 5—13) Аристотель говорит, что «не может существовать доказательства для всего», что «все доказывающие науки применяют аксиомы» и что «аксиомы обладают наивысшей степенью общности и представляют начала всего» .

Под постулатами ( , буквально — «требования») Аристотель понимал такие положения, которые, безотносительно к их доказуемости, вводятся в начала науки без доказательства, хотя бы они представлялись учащемуся противными его мнению [17] . Именно потому, что постулат может быть противным мнению учащегося, он вводится в качестве требования: это — положение, которое должно быть принято для того, чтобы были приняты все вытекающие из него выводы.

Постулаты Аристотель отличал от аксиом, но не противопоставлял их аксиомам.

В развитии античной математики после Аристотеля были выработаны три точки зрения по вопросу о различии между аксиомами и постулатами. Эти три точки зрения рассматривает математик и философ Прокл (V век н. э.) в своих «Комментариях» к «Началам» Евклида.

Согласно первой из этих точек зрения, аксиомы — недоказываемые положения, на которые опираются доказательства теорем, а постулаты — недоказываемые положения, на которые опираются построения в геометрии.

Согласно второй точке зрения, аксиомы — допущения, общие для всех наук, а постулаты — специальные допущения, принятые в геометрии. Так, у Евклида в качестве аксиом рассматривались, например, такие положения: «равные одному и тому же равны и между собой», «если к равным прибавляются равные, то и целые будут равные» и т. д. В качестве постулатов у Евклида рассматриваются, например, такие положения: «от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию», «из всякого центра и всяким раствором <циркуля> <может быть> описан круг» и т. д.