Шрифт:
Чтобы понять значение максимальной величины времени пролёта, мы можем рассмотреть, что происходит в пределе малых скоростей. Время пролёта есть интеграл от ds, который представляет скорость тикания этих часов. В нерелятивистском пределе интеграл, который должен быть максимизирован, есть
ds
=
t
t
dt
1
+
c^2
–
v^2
2c^2
+ …
,
(7.3.1)
при
1-v^2/c^2
1
–
v^2
2c^2
.
Первый член интегрируется по разности времени в заданной системе отсчёта (t-t). Другие два члена могут быть переписаны, чтобы иметь вид, который должен быть очень привычным, умножая на массу частицы и меняя знак, получим
ds
=
(t-t)
–
1
mc^2
t
t
dt
1
2
mv^2
–
m
.
(7.3.2)
Для того, чтобы максимизировать это выражение для фиксированной величины интервала времени (t-t), мы берём минимум интеграла в правой части последнего соотношения. Но этот интеграл есть не что иное, как классическое действие для частицы массы m в гравитационном потенциале . Мы видим, что требование того, что собственное время должно иметь максимальное значение, эквивалентно принципу наименьшего действия в классическом пределе.
Эти результаты наводят нас на мысль о том, как мы могли бы получить закон механики (эквивалентный, грубо говоря, второму закону Ньютона), который бы был релятивистским. Этот принцип состоит в том, что вариация ds должна быть равна нулю, т.е.
2
1
ds
=
0.
(7.3.3)
Именно Эйнштейн высказал гипотезу, что этот принцип будет описывать движение в присутствии гравитационных полей. С использованием этого принципа была решена задача нахождения уравнений движения, задаваемого этим полем. Оставшаяся проблема сейчас состоит в том, чтобы связать потенциал , который появляется в этом выражении, с окружающей средой. Это было огромной проблемой до Эйнштейна. Как мы можем получить правильное выражение для потенциала ? Что происходит, если мы используем неверную теорию гравитации, как если бы мы работали в системе, в которой имеются центробежные силы, но мы не знали бы этого? Мы видели, что гравитационные силы запутанно смешены с силами инерции, так что мы не можем сделать универсально правильного разделения на эти две силы.
Догадка Эйнштейна и состояла в том, что в подобных ситуациях не должно иметь значения, рассматриваем ли мы универсально правильное значение потенциала или нет; если этот потенциал корректно определён, то описание физики должно быть независимо от того, каким частным образом мы разделили инерциальные и гравитационные эффекты. Таким образом, для того, чтобы сконструировать формулу для , которая бы удовлетворяла этому свойству, мы должны изучить очень тщательно способ, пользуясь которым, интервал собственного времени ds выражается в различных координатных системах, когда мы применяем преобразования такие, которые мы символически записывали как ”гравитация' = гравитация + ускорение”. Такое изучение может позволить нам построить выражение для ds, которое является инвариантным при всех возможных преобразованиях.
7.4. Собственное время в общих координатах
Для того, чтобы получить формулу Эйнштейна для (ds)^2, мы должны рассмотреть системы отсчёта, которые не только ускоряются, но также находятся под действием сил, которые искажают их форму произвольным образом. Мы хотим получить общую формулу для координат, которая аналогична определению координатных систем, вращающихся друг относительно друга
x'
=
x
cos t
+
y
sin t
,
z'
=
z,
y'
=
y
cos t
–
x
sin t
,
t'
=
t,
(7.4.1)
Мы описываем ускорение общего вида и растяжение произвольного вида, устанавливая, как каждая из четырёх координат одной системы зависит от всех координат другой системы
x
=
x(
x',y',z',t'
),
z
=
z(
x',y',z',t'
),
y
=
y(
x',y',z',t'
),
t
=
t(
x',y',z',t'
).
(7.4.2)
Рассмотрим вначале ситуацию, которая возникает, когда =0. В этом случае мы знаем, что собственное время в нескрученной системе есть просто (здесь мы положим c=1)
(ds)^2
=
(dt)^2
–
(dx)^2
–
(dy)^2
–
(dz)^2
.
(7.4.3)