Пример программы на языке Basic

10 DEF FNY(X)=COS(P*X-Z*SIN(X))

20 PRINT "ВАРИАНТ"; : INPUT I

30 PRINT "N,P,Z"; : INPUT N,P,Z

35 A=0 : B=PI

40 IF I = 1 THEN GOSUB 100

50 IF I=2 THEN GOSUB 200

60 PRINT "S="S/PI

90 GO TO 20

100 H=B-A : S=0

110 FOR I = 1 TO N : S=S+FNY(A+RND(1)*H) : NEXT I

120 S=H*S/N

190 RETURN

200 H=B-A : S=0 : R=0

210 F=FNY(A+RND(1)*H)

215 IF RND(1)<ABS(F) THEN S=S+SGN(F)

220 R=R+1 : IF R< N THEN 210

230 S=H*S/N

290 RETURN

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВИДА – ФУНКЦИЯ ОТ Х = 0

Метод половинного деления

Уравнение может быть записано в общем виде: F(X)=0.

Решение задачи состоит из двух этапов:

1) отделение корней – выделение отрезков [ab], принадлежащих области определения функции f(x), на которых расположен один и только один корень уравнения, то есть один нуль функции f(X).

2) уточнение корней с любой степенью точности – построение процесса, позволяющего как угодно сузить границы выделенного отрезка. Критерием является следующий: функция f(x) на отрезке [a b] должна быть непрерывна и монотонна, а ее значения на концах отрезка должны иметь разные знаки. Для отделения корней используются два метода.

Аналитический метод: Для отделения действительных корней необходимо указать интервалы монотонности функции f(x), т.е. интервалы, в которых знак первой производной постоянный, а для этого решить уравнение f'(x) = 0 и подсчитать значение функции f(x) в точках корней уравнения и в граничных точках области определения функции. Отрезки, на концах которых у функции разные знаки, содержат корень.

Графический метод: Нужно построить график функции f(x) и выделить отрезки, где функция непрерывна, монотонна и имеет разные знаки на его концах.

Алгоритм метода половинного деления:

Геометрическая интерпретация метода:

Решить задачу:

Методом половинного деления найти корень уравнения x-Cos(x)=0.

Пример программы на языке C#

double x, left = 0, right = 1;

do { x = ( left + right ) / 2;

if ( ( Math.Cos(x) – x ) * ( Math.Cos(left) – left ) < 0 )

right = x; else left = x; }

while ( Math.Abs( right – left ) >1e-4 );

Console.WriteLine( "Корень равен " + x );

Пример программы на языке Pascal

PROGRAM P9;

FUNCTION FUN(A:REAL):REAL;

BEGIN

FUN:=A-COS(A);

END;

VAR A,B,X:REAL;

BEGIN

WRITELN('Ввести интервал А и В для поиска корня = ');

READLN(A,B);

REPEAT X:=0.5*(A+B);

IF FUN(X)*FUN(A)<0 THEN B:=X ELSE A:=X;

UNTIL ABS(A-B)<1E-4;

WRITELN(' Корень уравнения ',X);

END.

(Тест: Интервал 0 и 1; Ответ = 0.73907470703125)

Решить задачу:

Найти корень уравнения на отрезке [1; 2] с точностью =10-4 методом половинного деления.

Пример программы на языке Pascal

CONST A = 1;B = 2;EPS = 1E-4;

VAR X1, X2, X, Y1, Y2: REAL;F : BOOLEAN;

BEGIN

X1 := A; X2 := B; F := TRUE;

WHILE F DO

IF ABS (X1 – X2) > EPS THEN

BEGIN

Y1 := COS(2/X1) – 2*SIN(1/X1) + 1/X1; X := (X1 + X2)/2;

Y2 := COS(2/X) – 2*SIN(1/X) + 1/X;

IF ABS(Y2) > EPS THEN

IF Y1*Y2 > 0 THEN X1:= X ELSE X2:= X

ELSE F := FALSE END ELSE F:= FALSE;

WRITELN (‘КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ ’,X);

END.

Ответ 1,875

Пример программы на языке Basic

10 DIM P(9)

20 PRINT " А,В,Е " ; : INPUT А,B,Е

30 PRINT "СКОЛЬКО ПАРАМЕТРОВ"; : INPUT N

40 FOR К=1 TO N : PRINT "Р"К; : INPUT Р(К) : NEXT К

50 GOSUB 100

60 PRINT "Х=”Х

90 GOТО 20

100 Х=А : GOSUB 200

110 S=SGN(F)

120 X = (А+В)/2 : GOSUB 200

130 IF ABS(F)<Р(2) THEN RETURN

140 IF SGN(F)=S THEN A=X : GOTO 160

150 B=X

160 IF B-A>E THEN 120

190 RETURN

200 R=1 : R1=SQR(1-Х)

210 R2=(R+R1) /2 : R1=SQR (R*R1) : R=R2