Греческая буква (мю), отмечающая середину оси абсцисс, обозначает среднее значение, или, если использовать более точный термин, математическое ожидание. Как видите, в точке кривая достигает максимума: это означает, что при нормальном распределении среднее значение и встречается чаще всего. Греческая буква (сигма) обозначает стандартное отклонение. Также можно видеть, что для 34,1 % населения измеряемая величина (например, рост) находится между средним значением и значением, превышающим среднее на одно стандартное отклонение. Еще для 34,1 % эта величина ниже среднего на одно стандартное отклонение или меньше. Кроме того, на три стандартных отклонения от среднего отличаются менее 0,2 % населения (один человек из пятисот). Так распределяются величины по гауссовой кривой. Во второй части книги я уделю некоторое время восхвалению ее описательных способностей. Сейчас же достаточно сказать, что это распределение очень хорошо моделирует многие природные явления.

Мой друг Алекс прав относительно чудес, пока речь идет о явлениях, распределенных нормально. Кривая нормального распределения спадает чрезвычайно быстро: на расстоянии четырех стандартных отклонений от среднего значение величины уже настолько близко к нулю, что зазор между кривой и осью абсцисс можно разглядеть только при помощи мощного микроскопа. На расстоянии десяти стандартных отклонений и далее не поможет и микроскоп. Лишь в одном из триллиона триллионов случаев можно ожидать отклонения от среднего, превышающего десять стандартных отклонений.

Поскольку, как выяснилось, гауссова кривая так хорошо описывает столь многие природные явления, казалось разумным применить ее и к явлениям экономическим. В конце концов статистическая идеология, на которой основано гауссово распределение, стала настолько непререкаемой догмой, что в течение приблизительно столетия создателям экономических моделей даже в голову не приходило использовать что-либо другое. Однако оказалось, что распределение Гаусса не вполне отражает механизмы, действующие в экономике. И это относится не только к экономике: за пределами области применимости этой конкретной модели лежат и многие другие явления. Во время финансового кризиса 2008 года я слышал от разных финансовых гуру, что «такого кризиса нельзя ожидать даже раз в десять тысяч лет». Хотя десять тысяч лет мне исполнится еще не скоро, я слышал такие же заявления по меньшей мере раза четыре, а то и пять – например, во время кризисов 1987 и 1998 годов, а также после 11 сентября. Видимо, что-то тут не так.

Илл. 1. Последняя банкнота достоинством в десять немецких марок (перед заменой марки на евро) с портретом Гаусса; на ней также изображена кривая нормального гауссова распределения

Илл. 2. Гауссова кривая, или нормальное распределение

(График Йожефа Бенце)

Не так тут то, что распределение Гаусса не предусматривает потрясений, возникающих, казалось бы, на ровном месте. Оно весьма хорошо предсказывает развитие событий в Тихонии, но не в состоянии справиться с бурным миром Диконии. Для описания таких кризисов нам нужна принципиально другая модель. На самом деле такие модели есть, и существуют они так же давно, как и гауссово распределение, ставшее столь надежной основой тихонской науки.

Возвращаясь к нашей аналогии с началом драки в пивной, можно сказать, что обитатели Тихонии понимают: увеличение частоты громких выкриков означает, что мирный мир Тихонии вот-вот сменится хаотическим миром Диконии. Тут почти не важно, идет ли речь о кабацких драках или экономических показателях. В обоих случаях мы находимся в пределах области применимости новой модели, которую мы создали для описания экстремальных ситуаций, возникающих в Диконии.

Наука Тихонии достигла таких высот, что ей удалось разработать модели, применимые не только к явлениям, обычным для самой Тихонии, но и к хаотическим событиям, происходящим в Диконии. В этом состоит одна из причин, по которым нам не следует пренебрегать тихонской наукой: модели Диконии были созданы наукой Тихонии. Методы остаются в точности теми же самыми. Отличаются только модели.

Портрета математика Огюстена Луи Коши (илл. 3) не встретишь на банкнотах, хотя он был изображен на французской почтовой марке, выпущенной в честь двухсотлетия со дня его рождения, а его имя можно найти в числе семидесяти двух имен французских естествоиспытателей, инженеров и математиков, выгравированных на Эйфелевой башне. Имя Коши, как и имя Гаусса, входит в число тех, что чаще всего встречаются студентам инженерных и математических факультетов. Приблизительно через 150 лет после Ньютона он устранил многие из неоднозначностей дифференциального и интегрального исчисления и придал этой науке форму, пригодную для преподавания на начальных университетских курсах.

Илл. 3. Огюстен Луи Коши (1789–1857), французский математик и физик

Кривую, которую построил Коши, можно видеть на илл. 4, и на первый взгляд она кажется очень похожей на кривую Гаусса. Когда я говорил выше, что называть распределение Гаусса «колоколообразной кривой» неточно, я как раз и имел в виду распределение Коши и многие другие кривые, форма которых также напоминает колокол. Казалось бы, ничто не заставляет предположить, что это распределение способно описывать гораздо более дикий мир, чем гауссова кривая.

При ближайшем рассмотрении оказывается, что на расстоянии трех стандартных отклонений от среднего кривая Коши не так близка к оси абсцисс, как кривая Гаусса, хотя и она подходит все ближе и ближе к оси при все больших и больших отклонениях. Так ли важно, насколько стремительно кривая приближается к оси абсцисс? Неужели сама природа модели, которую описывает кривая, фундаментально зависит от быстроты приближения этой кривой к нулю? Как мы вскоре увидим, это именно так.

Илл. 4. Распределение Коши