Фундаментальная проблема изучения математики состоит в том, что даже если числовое чутье у нас генетическое, точные вычисления требуют культурных инструментов, символов и алгоритмов, которыми человечество располагает всего несколько тысяч лет, поэтому их усваивают участки мозга, предназначенные эволюцией для другого. Процесс облегчается, если то, что мы изучаем, гармонирует со встроенными механизмами. Архитектуру мозга мы изменить не в силах, зато можем адаптировать методы обучения к ограничениям, которые она накладывает.

Американские педагоги вот уже почти тридцать лет продвигают «реформу математики» и советуют подталкивать детей к поиску собственных способов решать задачи. А до реформы математики была «новая математика», которую теперь принято считать педагогическим фиаско (во Франции ее называют les maths modernes и презирают не меньше). Новая математика была основана на теориях авторитетного швейцарского психолога Жана Пиаже, который считал, что дети рождаются безо всякого численного чувства и лишь постепенно овладевают понятием числа на нескольких этапах развития. Пиаже считал, что до четырех-пяти лет дети не в состоянии усвоить простой принцип, что от перемещения предметов их количество не меняется, а значит, нет никакого смысла учить их арифметике до шести-семи лет.

Представления Пиаже стали стандартом к началу пятидесятых, однако с тех пор психологи убедились, что он недооценивал арифметические способности маленьких детей. Если полугодовалому младенцу одновременно показывать изображения привычных предметов и давать послушать определенные ритмы на барабане, он дольше смотрит на картинки, где количество предметов соответствует количеству ударов. Сейчас общепринято, что человек от рождения обладает рудиментарной способностью воспринимать и выражать количество (как и многие животные, в том числе саламандры, голуби, еноты, дельфины, попугаи и обезьяны). И если эволюция снабдила нас одним способом выражать число – примитивным числовым чутьем, то культура подарила еще два: цифры и числительные. Деан полагает, что эти три способа думать о числе соответствуют определенным участкам мозга. Числовое чутье обитает в теменной доле – части мозга, отвечающей за положение в пространстве, с цифрами работают зрительные зоны, а числительные обрабатываются в зонах восприятия языка.

Увы, во всей этой сложной мозговой механике так и не нашлось эквивалента микросхемы из пятидолларового калькулятора. Из-за этого дефекта изучение страшной четверки – «Скольжения, Причитания, Умиления и Изнеможения», как пошутил Льюис Кэрролл (пер. Н. Демуровой) – превращается в сущее наказание. Поначалу еще ничего. Числовое чутье позволяет примерно понимать, что такое сложение, поэтому еще до школы дети находят простые способы складывать числа. Например, если попросить ребенка сосчитать, сколько будет 2+4, он начнет с первого слагаемого, а потом досчитает до второго: «Два, два и один – три, два и два – четыре, два и три – пять, два и четыре – шесть, шесть!» Но с умножением все иначе. Умножение – занятие противоестественное, как часто приговаривает Деан, а все потому, что наш мозг для такого не оборудован. Тут не помогут ни чутье, ни прибавление по одному, поэтому таблицу умножения приходится хранить в мозге в вербальном виде, как последовательность слов. Список таких арифметических фактов не так уж длинен, но страшно коварен: одни и те же числа повторяются по много раз в разном порядке, а фразы частично перекрываются, и в них возникают ненужные обманчивые рифмы (доказано, что билингвы, когда умножают, переходят на язык, на котором учились в школе). Человеческая память, в отличие от компьютерной, в ходе эволюции приучилась строить ассоциации, вот почему она так плохо подходит для арифметики, где нельзя, чтобы разные фрагменты знаний интерферировали друг с другом: если хочешь вспомнить, сколько будет 7x6, рефлекторно активируются знания о 7+6 и 7x5, а это может привести к катастрофе. Так что умножение – это двойной кошмар: мало того что оно не поддается числовому чутью, его еще приходится усваивать в форме, которая противоречит организации нашей памяти, развившейся в ходе эволюции. В результате взрослые при умножении однозначных чисел ошибаются в 10–15 % случаев. А если речь идет о самых трудных примерах, скажем, 7x8, доля ошибок превышает 25 %.

Природная неприспособленность к более сложным математическим процессам натолкнула Деана на вопрос, стоит ли заставлять детей учиться процедурам вроде деления в столбик. Ведь есть выход из положения – электронный калькулятор. «Дайте пятилетнему ребенку калькулятор, и вы научите его дружить с числами, а не ненавидеть их», – писал Деан. Избавив ребенка от необходимости тратить сотни часов на заучивание скучных процедур, считает он, калькуляторы дадут ему свободу сосредоточиться на смысле этих процедур, чему при нынешнем образовательном статус-кво не учат.

Казалось бы, такое отношение рисует Деана как самого настоящего сторонника «реформаторов математики» среди педагогов и самого настоящего врага родителей, которые хотят, чтобы учителя математики их детей «вернулись к основам». Но когда я спросил Деана, как он относится к реформе математики, он не проявил особой симпатии к этому направлению. «Мысль, что все дети разные и что каждый должен открывать все по-своему – нет, я с этим не согласен, – сказал он. – Я уверен, что организация мозга у всех одинаковая. Мы видим это у младенцев, видим и у взрослых. В целом все мы идем по одной дороге с небольшими отклонениями». Деан искренне восхищается математическими программами азиатских стран, в том числе китайской и японской, которые обеспечивают детям досконально структурированный опыт, предвосхищают диапазон их реакции на каждом этапе и обеспечивают задачами, составленными так, чтобы минимизировать количество ошибок. «К этому мы пытаемся вернуться и во Франции», – сказал он. Совместно с коллегой Анной Уилсон Деан разработал компьютерную игру The Number Race, чтобы помочь детям при дискалькулии. Программа эта самообучающаяся, она выявляет задачи, где ребенок чувствует себя неуверенно, и подстраивает уровень сложности, чтобы доля верных решений оставалась на уровне 75 % – это не дает ребенку опустить руки.

Организация мозга у нас и в самом деле общая, однако сохраняются и культурные различия, диктующие нам, как обращаться с числами, и они не ограничиваются стенами класса. Эволюция снабдила нас приблизительной числовой осью, но чтобы числа обрели точность, кристаллизовались, по выражению Деана, нужна система символов. В языке амазонского племени мундуруку, которое изучали в последнее время Деан и его коллеги, особенно лингвист Пьер Пика, числительные есть только для чисел от одного до пяти (причем слово, которым мундуруку обозначают «пять», буквально значит «одна ладонь»). И даже эти слова для них, судя по всему, лишь примерные указания: если показать индейцу мундуруку три предмета, он может сказать, что их три, а может – что четыре. Тем не менее у мундуруку неплохая численная интуиция. «Например, они понимают, что пятьдесят плюс тридцать – это больше шестидесяти, – говорит Деан. – Естественно, они не знают этого на вербальном уровне и не располагают языковыми средствами, чтобы об этом поговорить. Но когда мы показываем им соответствующие множества и преобразования, они сразу понимают, о чем речь».

Судя по всему, у мундуруку мало культурных инструментов, дополняющих врожденное числовое чувство. Интересно, что следы таких же стадий несут в себе символы, которыми мы записываем числа. Первые три римские цифры – I, II и III – образованы повторением одного и того же символа нужное количество раз. Символ четырех – IV – уже не такой прозрачный. По тому же принципу строятся китайские цифры: первые три состоят из одной, двух и трех горизонтальных черточек, а четвертая имеет уже другую форму. Этой логике следуют даже арабские цифры: 1 – просто вертикальная палочка, 2 и 3 изначально были двумя и тремя горизонтальными черточками, соединенными для простоты письма («Прелестный маленький фактик, но едва ли он до сих пор закодирован у нас в мозге», – заметил Деан).