P (A) – априорная вероятность факта или события. Можно также сказать, начальное убеждение.

P (A/B) – апостериорная вероятность. То, насколько событие вероятно с учетом свидетельства В.

P (B/A) – вероятность свидетельства в случае истинности А.

P (B) – вероятность получить данное свидетельство.

Как вообще происходит процесс познания? Как правило, о чем бы мы ни задумались (о погоде, природе, повышении цен и своей зарплаты, наступлении коммунизма, бытии Божьем), у нас уже есть какое-то смутное представление, какая-то вероятность. Возможно, взятая с потолка. Многие скажут, что взять нечто с потолка – не лучшее начало. Конечно, не лучшее. Но лучше так, чем никак. Первый ход в этой партии может быть сколь угодно странен: «Бог существует с вероятностью 50 %», «цена вырастет с вероятностью 80 %», «Маша согласится с вероятностью 30 %». Но если дальше верно учитывать новые свидетельства и, главное, не бояться их получать, мы довольно быстро проясним ситуацию и с ценой, и с Машей, и даже с Богом. И главное, не так уж важно, с какой нулевой гипотезы мы начали – важно, честно ли пошли по пути, и все честные пути по мере прохождения будут сходиться к одной цифре.

Давайте поясним на самом простом примере, как это работает. Взять ли зонт, выходя из дома? У всех разное отношение к дождю и к ношению зонта вхолостую. Допустим, пороговое значение, при котором мы возьмем зонт, – 20 %-ная вероятность дождя, или менее 80 % вероятности «без осадков», что можно записать как 0,8. Есть статистика по данному месяцу в данном месте – без осадков 60 % всех дней, то есть 0,6. Это наша априорная гипотеза. И если у нас есть только она, без зонта сегодня не обойтись, как и всегда.

Но допустим, у нас есть дополнительное свидетельство – прогноз погоды. Предположим, что синоптики у нас так себе и, давая прогноз на дискретное событие (вроде дождь / без осадков), они правы лишь в 70 % случаев. Вы видели много их прогнозов и сами вывели эти 70 %. Прогноз синоптиков «сегодня без осадков». Вопрос, брать ли зонт?

Иными словами, нам нужно вывести P (A/B), зная все остальное. Тогда в числителе у нас 0,7 x 0,6 = 0,42. Это вероятность всех ситуаций, при которых прогноз «без осадков» совпадает с их реальным отсутствием. Это число надо поделить на P (B). Но P (B) = P (B/A) x P (A) + P (B/not A) x P (not A). То есть сумму всех вероятностей, когда синоптики дают такой прогноз, включая те случаи, когда он ошибочный. В знаменателе будет 0,6 x 0,7 + 0,4 x 0,3 = 0,54. Дальше 0,42/0,54 = 0,777. Это меньше, чем пороговое значение 0,8, значит, зонт берем.

Вообще, вывод такой: в данном месяце не обращать внимание на прогнозы погоды, пока их точность не повысится или пока не вырастет ваша толерантность к осадкам. Вы при любом прогнозе должны носить свой зонт, пока вам настолько неприятен дождь.

Это простой пример того, как наука считает довольно сложные вещи. Главная фишка в том, что одних результатов опыта мало. Мы меняем наши убеждения на основании опыта, но нужно учитывать: а – вес априорных убеждений, б – погрешность свидетельств. Тогда, если мы выбиваем из мира достаточно свидетельств, наша картина мира меняется куда надо независимо от начальной точки.

И что, мы предлагаем проделывать такие вычисления по любому мало-мальски значимому поводу? Скажем больше: они уже вершатся без нашего ведома. Наш мозг – это байесианский компьютер на углеродной основе, примерно вот таким он и занят. Зачастую – бессознательно. Выслушав прогнозы синоптиков о ясной погоде, он почему-то все равно выбирает зонт…

Но мы обещали показать, в чем заключается Абсолютная Истина и почему это очень-очень плохо. Как минимум, это просто скучно, как максимум – плохо совместимо с выживанием человечества. Напомним формулу P (A/B) = P (B/A) x P (A) / P (B), где P (A) = 1. Говоря простым языком, это априорная вероятность, взятая за 1, или, если кому-то так больше нравится, за 100 %.

Легко увидеть, что это исключает дальнейшее познание. Если P (A) = 1, ни одно свидетельство ничего не изменит, мы получили окончательный ответ. Или хуже того – мы начали с окончательного ответа. Если P (A) = 1, то P (not A) = 0, и P (B) = P (B/A) x P (A) + P (B/not A) x P (not A) = P (B/A) x P (A). Числитель всегда равен знаменателю, и независимо от любых свидетельств P (A/B) = 1.

Если с языка цифр перевести на русский, то…

Если мы в чем-то уверены на 100 %, это означает, что нет такого опыта, который заставил бы нас изменить свое убеждение.

Апостериорная вероятность будет всегда равна априорной, если первая равна 1. При этом весь мир может говорить против нас, уже неважно. Самое сильное свидетельство уже ничего не изменит. Познавать нечего – формально считается, что мы дошли до конца, и это вправду конец, локальный когнитивный коллапс. Вы как бы подписали обязательство (и поклялись жизнью!) никогда не менять свое мнение по некоему вопросу – вам не страшно от подобной необратимости? Вот если бы наша начальная уверенность равнялась хотя бы 0,9999, с этим можно было бы что-то сделать. Если мы оставляем хотя бы 0,01 % вероятности, что наши истины неверны, они могут измениться. Даже если мы оставляем вероятность один против триллиона – правда может просочиться в эту щель и все исправить, если мы все-таки были неправы. Но P (A) = 1 – это конец игры по определению.

Но это же и есть определение Абсолютной Истины! Если мы считаем наше убеждение лишь вероятным, пусть даже сильно вероятным, какая же это Истина с большой буквы, если ее можно пересмотреть в процессе? Это всего лишь предпочтительная гипотеза, но когда люди жаждут истину, они, я подозреваю, хотят чего-то большего. На временную гипотезу они согласятся с чувством, что им недодали, что это еще не то. Но не тем – опасным, загоняющим в тупик не тем – была бы как раз истина, как ее хотят. Сколько раз людям казалось, что их убеждения верны на 100 %? Человечество развивалось лишь потому, что эти 100 % уверенности все-таки никогда не были по-настоящему 100 %, и это позволяло сделать шаг вперед.