Пусть относительно системы координат O1X1 со скоростью V1 движется другая система O2X2, а относительно системы O2X2 со скоростью V2 движется материальная точка и вместе с ней с той же скоростью двигаются и часы. Какова скорость точки V относительно системы координат O1X1? В начальный момент времени t = t = 0 положим координаты точки, часов и второй системы координат O2X2 равными нулю, относительно первой системы O1X1.

Время, отсчитанное часами по достижению точкой координаты x (в первой системе координат), равно

Путь, пройденный за это время системой O2X2 относительно системы O1X1 равен:

Путь, пройденный за это время точкой относительно системы O2X2, равен:

Путь, пройденный за это время точкой относительно системы O1X1 равен:

Этот путь равен сумме путей x1 и x2 , то есть:

x = x1 + x2.

Из последних четырех равенств получаем:

Итак, для истинных времени и скоростей правило сложения скоростей классической механики остается в силе и никаких ограничений на величины скоростей при этом не накладывается.

С применением формулы (1. 6) нетрудно вывести аналогичную формулу и для векторов скоростей:

Как уже говорилось выше, для современной системы часов Ve = c. Заменим в (1. 5) Ve на c и получим:

отсюда, выразив V через V и c получим:

Пусть в выражении (1. 8) скорость V неограниченно возрастает. Тогда мы получим следующий предел:

Выражение (1. 9) есть не что иное, как математическая запись 1-го постулата, именно: если скорость точки измерять по показаниям часов t, то измеренная таким способом скорость V, никогда не превысит скорости света. При этом истинная скорость точки V может превышать скорость света на сколько угодно. Итак, 1-й постулат появился только потому, что измеряя время реальными часами, мы полагаем, что они – идеальны. При учете материальности часов и введении формул перехода от показаний часов к истинному времени, 1-й постулат теряет силу и должен быть отменен.

При справедливости формул сложения скоростей (1. 6) и (1. 7), нетрудно сделать вывод, что уравнения классической механики, в том числе законы сохранения импульса и энергии, остаются в классической форме, и во всех формулах должно фигурировать истинное время t. То же самое относится и к производным по времени, например:

Преобразования координат есть преобразования Галилея, с добавлением формулы перехода от показаний часов к истинному времени:

В качестве примера того, как путаница между скоростями V и V приводит к «странным» результатам, рассмотрим измерение масс ядер в масс-спектрометрах с применением магнитного поля. Измерение основано на приравнивании центростремительной силы силе Лоренца для частицы, движущейся в магнитном поле. Это уравнение таково:

Здесь: m – масса частицы, q – её заряд, r – радиус траектории частицы, B – индукция магнитного поля, V – скорость частицы.

Во времена Лоренца различие между V и V не делалось, поэтому фактически уравнение (1.11) выглядит так:

Но теперь, когда мы знаем, что в центростремительную силу следует подставлять не V, а V равное

то исправленное уравнение для измерения массы будет уже другим: