К сожалению, в математике, как впрочем и в других науках, множество понятий называются словами, взятыми из чужых нам языков. Чтобы эти слова не затрудняли изучение тех или иных предметов, следует узнать их перевод на наш родной язык. Например, весьма неприятное для нас слово «функция» в переводе означает совершение, исполнение или, проще говоря, действие.

Но, вернемся к нашим сливам. Узнать результат сложения слив можно либо пересчетом слив, после того, как все сливы окажутся в вазе, либо пересчетом слив до того, как сливы из дуршлага будут перекладываться в вазу, и, перекладывая по одной сливе, вести счет. А можно сначала сосчитать сливы в вазе, а потом в дуршлаге. Затем произвести действие сложение двух чисел. Разумеется, что все три способа являются правильными, ибо приводят к правильному результату. Заметим только, что третий способ и будет называться вычислением. При этом, для того, чтобы выяснить сколько всего имеется слив, нет необходимости перекладывать их в вазу.

Заметьте, что перекладывая сливы из дуршлага в вазу мы (сначала) брали сливы из дуршлага и (потом) клали их в вазу. Когда мы брали сливы, мы уменьшали количество слив в дуршлаге. Иными словами, вычитали. Вычитание является действием обратным сложению. Все элементарные действия в математике являются либо сложением (добавлением), либо вычитанием (убавлением).

Третье значение слова «считать» не относится к математике напрямую. Оно употребляется как «делать предположения» или «оценивать ситуацию». Например, выражение «Вы считаете этих людей достойными награды?»

Разумеется, что о количестве людей, которых предлагается наградить речи не идет. Но почему тогда употребляется слово «считать?» Вероятно, речь идет о величине заслуг этих людей и о величине той награды, которой их предполагают наградить. Награда должна быть достойной тех добрых дел, которые сделали эти люди, а также не быть слишком завышенной. Иными словами, нужно оценить поступки и оценить награду, а затем сравнить эти оценки на соответствие. Почти также как сравнивают числа. Пожалуй, самым наглядным примером таких сравнений является оценка знаний учеников учителем, выраженная количеством баллов.

Итак, теперь можно утверждать, что слово «считать», в самом общем смысле, означает «производить количественные измерения чего-либо». Для этого люди используют элементарные механизмы: сложение и выложение, то есть вычитание.

Как всем вам, Ребята, хорошо известно, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. И, действительно, не имеет значения с какой емкости можно было начать подсчет слив. Иными словами, порядок сложения не влияет на результат. Однако, для удобства, предпочтительнее к большему числу прибавлять меньшее.

Но как же быть с вычитанием? Можно ли сказать,что от перестановки мест вычитаемых разность не меняется? Отчего же нет? Ведь, что такое разность? Это — количественное несоответствие! Если оба сравниваемых числа равны, значит несоответствия нет! В этом случае можно как из первого вычитать второе, так и из второго вычитать первое, результат будет равен нулю. Но, если несоответствие все же имеется? Тогда нужно просто это несоответствие выявить путем вычитания из большего числа меньшее. А если из меньшего попытаться вычесть большее? Некоторые скажут, что это невозможно. А мы ответим, что это невозможно только частично, а конкретно в части количественной разницы!

Но как же можно, вообще, вычитать из меньшего числа большее? Мысленно или вручную, если имеется две емкости с разным количеством предметов, убирать из каждой по одному. Некоторые скажут, что это глупо. Но, на самом деле, при решении некоторых задач метод обоюдного убавления или добавления может здорово пригодиться! Почему по одному? Потому, что по одному, хотя и медленно, но надежно! А спешка, то есть стремление сделать что-то побыстрее, является, пожалуй, самой частой причиной ошибок!

Чтобы немного развеяться, давайте решим небольшую задачку.

На столе лежали три конфеты. Пятилетний Миша взял их и положил себе в карман. Потом, обращаясь к своей сестре, заявил, что у него пять конфет. Семилетняя Маша, с улыбкой, сказала, что Миша перепутал число три и число пять. Миша, немного обидевшись, вынул из кармана пять конфет, и показал их сестренке. Маша, не скрывая удивление, спросила Мишу, не фокус ли это?

А, действительно! Как же могло получиться так, что мальчик взял всего три конфеты, а в кармане у него оказалось пять конфет? На этот вопрос есть один единственный ответ: к моменту, когда мальчик брал со стола три конфеты, в его кармане уже находились две конфеты. Но его сестра об этом не знала, поэтому и удивилась. Эти две конфеты, которые мальчик положил себе в карман прежде, чем начался рассказ о нем, можно назвать неучтенными.

Теперь, можно рассмотреть похожую ситуацию, но, как бы перевернутую во времени.

У мамы на счете мобильной связи находились денежные средства, необходимые для оплаты тридцати минут разговоров. Мама проговорила с подругой сорок минут. После разговора, мама внесла на свой счет денежные средства для оплаты одного часа разговоров. Но когда она проверила баланс, то увидела, что денежных средств на ее счете хватит для оплаты всего лишь пятидесяти минут. Как так получилось?

Но, для начала, давайте разберемся со словом «баланс», которое тоже является чужим для нас. Изначально, это слово звучало «би ланкс», что в переводе с латыни, означало «две чаши» или, проще говоря, инструмент для взвешивания. А уже французское слово «баланс» стало означать весы вообще. Перейдя в другие языки, слово «баланс» приобрело более широкий смысл, и стало означать равновесие, соответствие. При использовании мобильной связи, появилось еще одно значение слова «баланс» — состояние счета для оплаты мобильной связи. Для нас важно отметить, что состояние счета — это не только наличие денежных средств на счете, но и их отсутствие. Как можно подсчитать отсутствие? Точно так же, как можно подсчитать отсутствующих!