Начнем? У нас есть одна монетка, которую мы посадим в это чудесное поле.

На следующий день на поле выросло деревце.

На следующий день на деревце созрела монетка, которая упала и зарылась.

На следующий день на деревце созрела монетка, которая упала и зарылась. И выросло еще одно деревце.

На следующий день на деревце созрела монетка, которая упала и зарылась. На вновь выросшем деревце созрела монетка, которая упала и зарылась. И выросло еще одно деревце.

На следующий день на трех деревцах созрели монетки, которые упали и зарылись. И выросли еще два деревца.

Пожалуй, пора подсчитать! В первый день была только одна монетка. Во второй день так и осталась эта одна монетка. В третий день уже стало две монетки. В четвертый день мы насчитаем три монетки. В пятый день у нас в распоряжении окажутся целых пять монеток. В шестой день на поле будут уже восемь монеток.

Сколько монеток будет в седьмой день? А сколько в десятый?

С каждым разом вести подсчет будет все труднее и труднее!

Нужно понять, по какому правилу развивается эта числовая последовательность?

Самая простая и понятная для нас числовая последовательность — это ряд натуральных чисел. Эта последовательность, как мы уже говорили, образуется по правилу: следующее число образуется прибавлением единички к текущему числу. Но это не единственное правило! Давайте приведем несколько примеров.

Будем складывать те же натуральные числа, выписанные каждое по два раза. При этом один ряд начнем с нуля, а другой уже с единички.

0_1_1_2_2_3_3_4_4_5_5

1_1_2_2_3_3_4_4_5_5_6

________________________

1_2_3_4_5_6_7_8_9_10_11

Другим способом, будем удваивать текущее число и вычитать предыдущее. Начнем с нуля и единички. Единичку умножим на два и вычтем ноль. Получим число два. Затем, два умножим на два и вычтем один. Получим три. Далее, три умножим на два и вычтем два. Получим четыре. И, так далее...

А если попробовать утраивать текущее число и вычитать удвоенное предыдущее? Единичку умножим на три и вычтем дважды ноль. Получим три. Три умножим на три и вычтем удвоенную единичку. Получим семь. Семь умножим на три и вычтем удвоенное число три. Получим пятнадцать...

Ерунда какая-то получается! Но мы ведь не сдадимся? Посмотрим на получившийся ряд: ноль, один, три, семь, пятнадцать. Каждое последующее число на единичку больше удвоенного текущего. Попробуем это исправить, и из утроенного текущего числа вычитаем не только удвоенное предыдущее, а еще единичку.

Единичку умножим на три, вычтем дважды ноль и вычтем единичку. Получим два. Два умножим на три, вычтем удвоенную единичку и вычтем единичку, как постоянно вычитаемое число. Получим три. Вроде получается. Но необходимо удостовериться! Утраиваем три, вычитаем удвоенное число два, и, как повелось, вычитаем единичку. Получим четыре. Можно и дальше продолжать, но, уже и так, видно, что мы задали правильное образование ряда.

Теперь, мы можем уже смело утверждать, что если умножить текущее число на четыре, и на пять, и на шесть, и вычитать предыдущее, умноженное на три, и на четыре, и на пять, соответственно, а затем вычитать каждый раз два, три, четыре, мы будем неизменно получать ряд натуральных чисел.

А также, можем к предыдущему числу прибавлять всякий раз число два. Проверим! К нулю прибавим два. Получим два. К единичке прибавим два. Получим три. К двум прибавим два. Получим четыре. К трем прибавим два получим пять. Как говорится, что и требовалось доказать!

Вот сколько способов образования ряда натуральных чисел мы рассмотрели.

Вполне можно предположить, что и ряд «Фибоначчи» тоже образуется по какому-то определенному правилу. Определив это правило, мы можем вычислять количество монет, которое будет на поле чудес в любой день.

Но, сначала давайте образуем числовой ряд по правилу: следующее число образуется как удвоенное текущее, из которого вычтено предыдущее и добавлена единичка. Как обычно, для начала, возьмем ноль и один.

Один умножить на два минус ноль и плюс один равно трем.

Три умножить на два минус один и плюс один равно шести.

Шесть умножить на два минус три и плюс один равно десяти.

Десять умножить на два минус шесть и плюс один равно пятнадцати.

Пятнадцать умножить на два минус десять и плюс один равно двадцати одному.

Ну, пока достаточно. Теперь мы видим ряд каких-то чисел, которые возрастают, но не так плавно, как ряд натуральных чисел. Если между двумя последовательными числами натурального ряда разность постоянно равна единице, то в этом, пока непонятном, ряду разность между соседними числами постоянно увеличивается. Давайте выпишем эти разницы.