Общая теория относительности ставит очень высокие требования к возможностям абстрагирования в геометрии и физике. Она использует особые математические методы, которые доступны только специалистам. Сам Эйнштейн должен был преодолеть здесь значительные трудности. При создании общей теории относительности он, по словам Лауэ, следовал указаниям компаса математики, который мог в известной мере обеспечить сохранение избранного направления, но был совершенно недостаточен для точного определения пути. Эйнштейн в конце концов нашел этот путь, не избежав случайных кружных и неверных дорог. В том, что он все же пошел этим путем, его величайшее достижение, не имеющее себе равных в истории физики.

Принцип относительности, справедливость которого в специальной теории относительности ограничена инерциальными системами - равномерно движущимися относительно друг друга системами, в которых действует ньютоновский закон инерции, - справедлив в общей теории относительности также для систем, движущихся с ускорением, и для вращательных движений.

Общую теорию относительности Эйнштейн рассматривал как "второй этаж" в здании своей теории. В сходном смысле Планк сравнивал переход от специальной к общей теории относительности с переходом от линейных функций ко всеобщей теории функций в математике. Общая теория относительности тем самым включает - если отвлечься от гравитации - специальную как частный случай. Она является как бы расширением и обобщением принципа относительности 1905 года.

Такое "классическое" толкование, отвечающее историческому развитию, предлагает также Макс фон Лауэ. Такие значительные физики-теоретики, как Луи де Бройль, Макс Борн, Вернер Гейзенберг и Леопольд Инфельд, разделяют его или склоняются к нему. В некоторых новых, более аксиоматически изложенных работах, особенно в тех, которые в последние годы опубликовал советский физик В.А. Фок, избранное Эйнштейном название "общая теория относительности" отвергается как не соответствующее содержанию и вводящее в заблуждение.

Фок не согласен с тем, что здесь речь идет об обобщении понятия относительности 1905 года, и расценивает теорию Эйнштейна 1915 года исключительно как геометрическую теорию гравитации. В книге "Теория пространства, времени и тяготения" Фок детально обосновывает свое толкование. Аналогичных взглядов придерживается и А.Д. Александров. Научная дискуссия по этому и другим вопросам продолжается.

По словам Лауэ, Эйнштейн искал возможность раскрыть тайны гравитационного поля на основе теории относительности. Исходя из закона тождества инертной и тяжелой массы, который знали уже Галилей и Ньютон и который экспериментально проверил венгерский физик Этвеш, Эйнштейн пришел к новой теории силы тяжести. Знаменитый мыслительный эксперимент со свободно падающим лифтом, в котором физики наблюдают поведение незакрепленных тел и при этом не замечают воздействия тяготения, помог решению проблемы.

После Фарадея и Максвелла, преобразовавших электродинамику, Эйнштейн применил идею близкодействия также к пониманию гравитации. Из его уравнений поля следует, что явления гравитации в изменяющихся во времени полях тяготения распространяются со скоростью света. Почта через два с половиной столетия после Ньютона удалось изгнать из учения о притяжении силы дальнодействия, действующие с бесконечно большой скоростью и непосредственно от тела к телу. Уже Ньютон рассматривал их с недоверием и недовольством, Гельмгольц и Герц натолкнулись на эти "подозрительные" силы, но не смогли указать никакого выхода.

В общей теории относительности Эйнштейн проложил новые пути в понимании пространства и его структуры - в согласии с идеей Римана, что соотношения масс в пространстве не остаются независимыми от физических процессов, которые в них протекают.

Гениальный немецкий математик Бернгард Риман создал в дополнение к теории Гаусса о криволинейных плоскостях неевклидову геометрию общего характера. Неевклидовой эта геометрия была постольку, поскольку она была построена без применения аксиомы Евклида о параллелях. Эта аксиома утверждает, что к одной данной прямой через точку, расположенную вне ее, можно провести одну и только одну параллельную прямую.

В римановской геометрии в отличие от геометрии Евклида сумма углов треугольника больше 180 градусов. В его "искривленных" пространствах которые соответствуют искривленным плоскостям, но наглядно не представимы нет прямых линий, как в "плоских" евклидовых пространствах; есть только "наиболее прямые" линии, так называемые геодезические линии. Они представляют собой кратчайшее расстояние между двумя точками в искривленном пространстве.

Эта геометрия прежде всего была математическим мыслительным допущением так же, как предшествующие неевклидовы геометрии русского ученого Лобачевского и венгра Больяи были чисто математическими построениями. До этого Гаусс развивал сходные геометрические представления, но не опубликовал их из боязни "дразнить гусей". Одновременно с Риманом и независимо от него Гельмгольц тоже придумал неевклидову геометрию.

В связи с принципом Маха необычайно гибкая геометрия Римана приобрела отныне в общей теории относительности и учении о гравитации непосредственный физический смысл. Эйнштейн открыл новую эру мировой геометрии, указав на то, что структура пространства - времени, четырехмерное единство пространства и времени, полностью зависит от распределения масс, и гравитационное поле "полностью определяется через массы тел".

Планетные орбиты нашей солнечной системы выглядят благодаря этому истолкованию как следствие искривления пространства, обусловленного массой Солнца. Они являются геодезическими линиями, по которым планеты движутся благодаря присущей им инерции. Законы тяжести были тем самым сведены к геометрии Римана. Закон гравитации стал особым случаем принципа инерции.