Когда мы рассматриваем последовательность Зенона как описание физического процесса, то расстояние между Ахиллесом и черепахой есть величина измеряемая, т. е. физическая, для любого момента времени. Соответственно, число шагов, выполненных Ахиллесом, также является реально измеримой (физической) величиной. Как физическая величина, она уже никак не может принимать бесконечно большое значение, и, следовательно, связанная с ней величина интервала между бегущими Ахиллесом и черепахой не может быть в точности равной нулю.

Черепахе стало жалко Ахиллеса и она остановилась. Только тогда измученный и постаревший Ахиллес смог догнать ее и наконец отдохнуть. Рисунок с сайта: http://jupiters.narod.ru/dinamic5_paradox.htm

Допустим, что парадокс Зенона неверен. Тогда в конце движения должен существовать хотя бы один интервал, на котором Ахиллес во время движения не пробегал бы точки, которые занимала ранее черепаха. Но поскольку по условию они бегут по одной прямой, это невозможно. Поэтому парадокс Зенона выполняется в любом случае, независимо от способа разбиения их пути на участки. Другими словами, не существует завершающего участка в конце движения (определяемого законами классической механики), на котором Ахиллес и черепаха дружно бы «перескочили» в одну и ту же точку встречи, минуя логику Зенона. И никакими математическими ухищрениями этот факт опровергнуть невозможно (этот вывод верен с точностью до аддитивности интервалов движения).

Итак, опровержения парадокса Зенона, основанные на подмене интервалов движения их пределом, не доказывают, что расстояние между бегунами сократится в точности до нуля. И тем более они не приводят к доказательству возможности того, что Ахиллес обгонит черепаху. Крупнейший математик ХХ века Давид Гильберт после тщательного анализа проблематики парадокса Зенона в фундаментальной монографии «Основания математики» отмечал: «Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится, и таким образом дает конечный промежуток времени. Однако эти рассуждения абсолютно не затрагивают один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некоторая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только фактически, но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться».

Поскольку удовлетворительного опровержения парадокса Зенона найти не удалось, остается полагать, что он отражает некие фундаментальные проблемы в самом понятии движения в классической механике. Реальное решение парадокса Зенона в начале ХХ века было предложено Гильбертом и заключается не в попытке его «опровержения», а в четком определении области его применимости, за пределами которой он теряет силу. Именно ограниченность области его применения и открывает возможность для реального движения физических тел в окружающем нас мире.

Д. Гильберт (1862–1943) О нем см. http://ru.wikipedia.org/wiki/Гильберт,_Давид

Д. Гильберт в упомянутой монографии отметил, что «радикальное решение парадокса» связано с тем, что при неограниченном дроблении движения возникает нечто такое, что едва ли может быть охарактеризовано как движение, подобно тому, как при неограниченном дроблении воды мы получим нечто, что уже не может быть охарактеризовано как вода. Имеется в виду движение в классическом его понимании.

Так что же это за «нечто», обнаруженное Зеноном Элейским две с половиной тысячи лет назад, не являющееся обычным классическим движением, но обладающее свойством открывать возможности тел к движению?

К концу XIX века классическая механика практически полностью сформировалась и возникла иллюзия завершенности физической науки, прекрасной в своей целостности и всеобщности. Некоторые «шероховатости», вроде проблем с эфиром и апориями Зенона, либо игнорировались, либо ждали своих экспериментальных уточнений. Однако эти уточнения вместо того, чтобы подтвердить торжество классической теории, неожиданно породили релятивистскую механику, которая перевернула представления о пространстве и времени и значительно ограничила сферу господства классических воззрений.

Второй сокрушительный удар по классической механике был нанесен в первой половине ХХ века возникновением квантовой механики, еще больше урезавшей область применения механики Ньютона. В 1924 году Луи Виктор Пьер Раймон, 7-й герцог Брольи (Луи де Бройль), высказал идею о двойственной природе микрочастиц — корпускулярно-волновом дуализме, которая принципиально изменила представления об облике микромира.

Луи де Бройль (1892–1987) О нем см. http://ru.wikipedia.org/wiki/Де_Бройль,_Луи.

Эйнштейн в письме к Борну, рекомендуя ему прочитать статью де Бройля «Исследования по квантовой теории», писал: «Прочтите ее! Хотя и кажется, что ее писал сумасшедший, написана она солидно». Несмотря на свою экстравагантность, идея двойственной природы микрочастиц получила экспериментальное подтверждение. Деваться было некуда, и волновые свойства микрочастиц пришлось признать. Сегодня, по прошествии десятилетий с момента выдвижения де Бройлем своей «сумасшедшей гипотезы», десятилетий, насыщенных бурными и богатыми для физики событиями, она перестала быть просто шокирующим соединением в единой сущности «волн» и «частиц», приобретя академическую солидность в изящных интерпретациях. Однако её суть — дуальность материальных тел — осталась неизменной. Так что исторически сложившиеся термины «волна» и «частица» — не более чем упрощающая восприятие условность, подобная той условности, которая привычна нам, когда мы употребляем термин «вода» и по отношению к волнующейся поверхности океана, и к дрожащему сгустку из двух протонов, нуклида кислорода и десятка электронов.