Особую остроту ему придает то обстоятельство, что как выразился один из выдающихся математиков XX века Герман Вейль, вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остается открытым. Это достаточно сдержанное выражение было сделано в 1944 году ученым, который с глубоким чувством гуманизма боролся за истину, понимаемую, прежде всего, как нравственную ценность общечеловеческого характера, и, с уходом которого из науки ушло единство и бескорыстность знания.

Поэтому современные математики и философы выражаются более категорично: кризис математики не преодолен, утрачены критерии абсолютности истины, существует неуверенность в выборе правильного подхода к математике, конфликты по основаниям математики отрицательно сказались на развитии и применении математической методологии и т. д.

Однако, такая категоричность в оценке состояния математики вовсе не означает отказа от ее применения. "Если я не знаю, как работает мой желудок, это не означает, что я не должен кушать". Эта мысль Гегеля является лейтмотивом современных оптимистов в математике, успешно применяющих ее в науке, технике, экономике и других областях. В нашем случае с таким оптимизмом в определенном смысле можно согласиться, но только отчасти.

Речь может идти лишь о том уровне неопределенности применяемого математического аппарата, который, с одной стороны, предопределен нашими возможностями получения достоверной информации об объекте исследования, а с другой стороны, ограничен целью описания изучаемых явлений. Это предъявляет особые требования к выбору математического аппарата, который должен обеспечить получение результата исчерпывающей полноты при довольно широком диапазоне неопределенности информации о разных объектах и при весьма жестких условиях применения, требующих предельной простоты и наглядности применяемых выкладок.

Это весьма существенное в данном случае обстоятельство заставляет проанализировать самые разнообразные области математики с целью выявления такого минимума наиболее простых математических форм и средств, который был бы необходим и достаточен для решения поставленных перед данным исследованием задач. При этом, прежде всего, будем исходить из чисто прагматического соображения практической полезности рассматриваемых математических теорий: любая из них имеет право на существование, если с ее помощью получен хотя бы один положительный результат.

Такой принцип является основой системного подхода, методологическая форма которого выражает естественную (природную) сущность потребностей человека. Потребительские свойства объекта (в данном случае -теории) предопределяют ее полезность, продолжительность и "географию" проявляемого к ней интереса со стороны наиболее авторитетных исследователей. В этом заключается суть второго принципа системного подхода – соответствие основных свойств объекта (теории) потребностям человека (исследователя).

Заниматься поисками чего-то общего в существующих теориях, не оговорив заранее, что же мы хотели бы в них найти, дело весьма бесперспективное. Поэтому обратимся к третьему принципу системного подхода, т. е. определимся относительно принципа подобия форм, согласно которому к любой теоретической системе предъявим следующие формальные требования:

– теория должна иметь неопределимые первичные понятия об объектах исследования;

– быть непротиворечивой;

– содержать независимые с точки зрения познания методы исследования;

– обладать симметрией.

Эти требования можно обобщить в виде принципов, в той или иной форме сформулированных учеными-классиками и ставших фундаментальными в прикладных науках, особенно, в физике. К ним относятся принципы неопределенности, сохранения, относительности и симметрии. Этот, пожалуй, исчерпывающий перечень фундаментальных в науке принципов должен стать своего рода эталоном для сравнения оснований рассматриваемых теорий, причем в первую очередь с точки зрения их наличия и использования в явном или неявном виде.

Выбранных путей не должно быть слишком много, чтобы не превратить их анализ в самостоятельное исследование, а сами они должны принадлежать к соперничающим научным течениям, что гарантирует от ошибок при выявлении наиболее общих принципов в построении математического аппарата.

Исходя из этих соображений, можно рассмотреть следующие классические теоретические направления в математике:

– теоретико-множественное направление, система аксиом которого известна как система Цермело-Френкеля;