В большинстве сообщений СМИ не упоминают уровень доверия для вычисления погрешности, но обычно можно предположить 95 %. Напротив, в научных публикациях куда яснее пишут, какой уровень доверия был взят, чтобы показать неопределенность подсчетов (опять же, как правило, хоть и не всегда, это 95 %).

Для оценки рейтинга одобрения этот диапазон вычисляется с учетом центральной предельной теоремы: норма выборки приблизительно нормально распределена, поэтому следует ожидать, что 95 % возможных значений окажется в пределах двух отклонений от стандарта истинной нормы (то есть истинного рейтинга одобрения).

До сих пор мы не объяснили, что отклонение от стандарта в этом распределении, которое также называется стандартной ошибкой, не равно отклонению от стандарта выборки, о котором мы говорили ранее. Однако эти две величины напрямую связаны. В частности, стандартная ошибка равна отклонению от стандарта выборки, поделенному на квадратный корень размера выборки.

Это означает, что если вы хотите уменьшить погрешность в два раза, вам нужно увеличить размер выборки в четыре.

Для опроса «да/нет», как в рейтинге одобрения, погрешность 10 % при опросе 96 человек, 5 % – 384 человек, 3 % – 1067 человек и 2 % – 2401 человека. Поскольку предел погрешности выражает уверенность организаторов опроса в их подсчетах, логично, что он напрямую связан с размером выборки.

Иллюстрация ниже показывает, как доверительные интервалы работают для повторных экспериментов. На ней изображены 100 доверительных интервалов со значением 95 % для вероятности выбросить решку. Каждый был рассчитан из эксперимента, который включал симуляцию броска симметричной монеты сто раз. Эти доверительные интервалы графически представлены в виде «усов», которые визуально отображают показатель неопределенности при подсчетах.

«Усы» не всегда являются доверительными интервалами. Их можно получить и из других расчетов погрешности. Точка по центру «уса» – это приблизительное вычисление параметра, в данном случае норма выборки, а линии на его концах обозначают максимум и минимум числового диапазона, в данном случае доверительный интервал.

«Усы» на графике варьируются в зависимости от того, что показали разные эксперименты, но каждый охватывает диапазон около 20 %, что соответствует ±10 %, упомянутым выше (когда размер выборки – одна сотня бросков). Учитывая уровень доверия 50 %, можно ожидать, что 95 этих доверительных интервалов будут включать в себя истинную норму в размере 50 %. В данном случае 93 интервала включают в себя 50 % (7 интервалов, не включившие в себя эту величину, выделены черным).

Доверительный интервал со значением 95 % для 100 бросков симметричной монеты

Такие доверительные интервалы часто используются для вычисления разумных значений параметра, такого как вероятность выбросить решку. Но, как вы только что видели, истинная норма параметра (в данном случае 50 %) иногда выходит за рамки доверительного интервала. Нужно понимать, что доверительный интервал – это не диапазон всех возможных величин и истинная величина необязательно будет входить в него.

Нас очень беспокоит, когда статистические данные публикуются в СМИ без упоминания погрешностей или доверительных интервалов. Не забывайте искать их, когда читаете отчеты, и включайте их в собственную работу. Без оценки погрешности вы не поймете, насколько можно верить этому числу – будет ли истинная величина действительно близка к нему или, может быть, очень от него далека? Это вам подскажет доверительный интервал!

Все относительно

В предыдущем разделе мы написали, что средний рост женщины составляет 5 футов 4 дюйма. Если вам нужно угадать рост случайного незнакомца, но вы не знаете наверняка, что это женщина, не стоит называть 5 футов 4 дюйма, потому что средний мужской рост ближе к 5 футам 9 дюймам (175 см) и лучше брать число ближе к середине. Но если у вас есть дополнительная информация о том, что этот человек – женщина, то 5 футов 4 дюйма – это самая удачная догадка. Дополнительные данные влияют на вероятность.

Это пример модели, которая называется условной вероятностью – вероятностью наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло. Условная вероятность помогает лучше оценивать вероятности, используя дополнительную информацию.

Условные вероятности широко распространены в повседневной жизни. Например, тарифы страхования жилья привязаны к различным условиям вероятности страховых требований (например, на побережье Флориды надбавки выше, так как и угроза разрушения от урагана там выше, чем в Пенсильвании).

Точно так же генетическое тестирование скажет вам, подвержены ли вы повышенному риску определенных заболеваний: женщины с аномалиями генов BRCA1 или BRCA2 имеют до 80 % больше риска развития рака груди в возрасте девяноста лет.

Условная вероятность обозначается символом |. Например, вероятность (Р), что у вас будет рак груди к девяноста годам при условии, что вы женщина с мутацией гена BRCA, будет обозначаться как Р (рак груди в 90 лет | женщина с мутацией BRCA).