Как такое возможно? Об этом пойдет речь в главе 19, где мы увидим, как структура нашего мозга от природы позволяет создавать абстракции и манипулировать ими.

А до тех пор, даже если вы не вполне понимаете, как возможно такое чудо, приходится признать очевидное: вы способны увидеть круг.

Может ли прямая линия пересекать окружность в трех точках? Не торопитесь. Тут нет подвоха. Просто попробуйте составить собственное мнение. Попробуйте представить все способы, которыми прямая может пересекать окружность, и увидеть, возможны ли в некоторых случаях три точки пересечения.

Нет, прямая не может пересекать окружность в трех точках.

Ответ кажется вам очевидным? Это потому, что вам, как и всем людям, присуща удивительная способность к математическому рассуждению.

Вы не просто способны вообразить абстрактные объекты, такие как прямые и окружности, – вы способны задаваться абстрактными вопросами об этих объектах и манипулировать ими у себя в голове, чтобы найти ответ.

Ответ для вас очевиден, но что вы будете делать, если кто-то скажет вам, что не понимает?

Вам захочется начать объяснения со слов «ну ты же видишь…», но это не сработает. Если кто-то не понимает, значит, этот кто-то не видит окружности и прямые так же ясно, как вы. Объяснять математику – значит помогать другим увидеть то, что они еще не умеют видеть.

Ваше рассуждение происходит интуитивно и визуально. У вас в голове оно похоже на мультик, где персонажи – окружность и прямая. Такой тип рассуждения очень эффективен, но его трудно передать словами. Слова никогда не могут в полной мере объяснить тонкости того, что вы видите.

Получая математическое образование, вы научитесь преобразовывать свою визуальную интуицию в строгие доказательства. Преобразование никогда не будет идеально точным. Чтобы выразить понятные выводы интуиции, нужно много слов. У вас в голове все так просто. Но стоит это написать – и все становится жутко техничным и сложным.

Вы – единственный, кто способен видеть, что происходит у вас в голове. Пусть это трудно, но только постаравшись строго перевести все это в слова и символы, вы сможете поделиться этим с другими. А еще эти усилия по переводу – единственный способ проверить, что ваша интуиция не ошиблась.

Потому что иногда она ошибается.

Вы это знаете и не любите, когда вам об этом напоминают. Самый верный способ задеть кого-то – посмеяться над его внешностью. Но заставить его усомниться в своей интуиции – вот способ поистине действенный. Обычно срабатывает один из двух защитных механизмов: или человек решает, что он полное ничтожество, зарабатывает комплекс неполноценности и перестает рефлексировать, или же говорит себе, что он все равно прав, а остальные – просто болваны (и тоже перестает рефлексировать).

Однако есть и третий путь. Когда Эйнштейну или Декарту говорят, что их интуиция ошибочна, они не чувствуют себя задетыми. Не считают себя ничтожествами. И тем более не считают других болванами. Они реагируют иначе. Как именно? Это одна из центральных тем данной книги.

Когда в школе вас научили не доверять интуиции, учителя совершили две ошибки. Две величайших ошибки, затормозивших ваше интеллектуальное развитие.

Первая ошибка – все преувеличивать. Вам создали комплексы на пустом месте. Да, ваша интуиция иногда ошибается – но не всегда. Зачастую она права. И вы можете сделать так, чтобы она как можно реже ошибалась. Вы можете научить ее видеть яснее и точнее. Начиная на том же уровне, что и вы, математики создают себе сильную и надежную интуицию. Они делают это с помощью простых методов, таких как те, что описаны в этой книге.

Вторая ошибка школы – вам рассказали о недостатках интуиции, но забыли напомнить о ее сильных сторонах. Вы усвоили посыл, что интуиция несовершенна. Но школа забыла передать вам куда более важный посыл: интуиция – ваш самый могущественный интеллектуальный ресурс. В каком-то смысле это ваш единственный интеллектуальный ресурс.

Это не пустые слова. У меня нет цели польстить вам, рассказывая небылицы.

За всем этим кроется глубинная биологическая истина, к которой мы еще вернемся. А еще это вполне познаваемая на практике реальность, и вы испытывали это тысячи раз. Вы прекрасно знаете, что учить наизусть, применять готовые методики или следовать рассуждениям строчка за строчкой не значит действительно понимать. Вы никогда полностью не доверяете логическим аргументам, вам гораздо проще с тем, что вы понимаете интуитивно.

Ваша интуиция могущественна – вы это знаете уже давно. Несомненно, вы не осмеливаетесь заявить об этом громко и уверенно, но втайне вы доверяете именно интуиции.

А вот чего вы, возможно, не знали: за величайшими научными революциями и целыми областями математики, которые считаются самыми сложными, всегда стоят проблески интуиции, и они так же просты, как и у вас.

Придумать теорию относительности Эйнштейну позволил мысленный мультфильм, ненамного сложнее того, который позволяет вам увидеть, что прямая линия не может пересекать окружность в трех точках.