Двенадцатые доли нередко использовались и в Европе. Древнеримская унция составляла 1/12 часть либры (меры веса), 12 унций составляют тройский фунт, 1 английский пенни (пенс) равен 1/12 части шиллинга, 1 дюйм — 1/12 фута и так далее.

Интересно, что преимущества двенадцатеричной системы счисления нашли сторонников в Новое время. В XVIII в. её адептом был французский математик и естествоиспытатель граф де Бюффон [76] . В 1944 г. было создано «Американское двенадцатеричное общество» (The Dozenal Society of America) [77] , а в 1959-м — «Английское двенадцатеричное общество» (The Dozenal Society of Great Britain) [78] , объединившие сторонников этой системы счисления. Рассудите сами, при помощи двенадцатеричной системы так удобно считать месяцы в году, христианских апостолов, колена Израиля, полутона в октаве, подвиги Геракла, знаки Зодиака, имамов, наследников Мухаммеда в шиизме, ступени колеса Сансары и бог знает что ещё.

Шестидесятеричной системе мы обязаны 60 секундами в минуте, 60 минутами в часе, 360 градусами в полном угле, минутами и секундами в географических координатах.

Но вернёмся к абаку. В Древнем мире абак был распространён чрезвычайно широко, и не всегда просто проследить конкретные пути заимствования этой технологии. Вполне вероятно, что счётные приспособления, подобные абаку, изобретались в истории человечества не единожды. На такую мысль наводит, например, информация о существовании сходных приспособлений для счёта в Новом Свете задолго до прибытия туда европейцев. В целом ряде источников о древней математике сообщается, что мезоамериканский абак назывался «непоуальцинцин» [nepo:wa?'tsintsin]. Это слово классического науатля (ацтекского языка) образовано от двух корней: «поуаль» или «поуалли» ['po:wal:i] («счёт») и «цинцин» [tsintsin] («мелкие одинаковые элементы»). Приставка [ne] в данном случае является определителем существительного, образованного от возвратного глагола [79] . То есть всё в сумме означает примерно «подсчитыватель-при-помощи-фишек». Непоуальцинцин был основан на двадцатеричной системе счисления и иногда выполнялся в форме наручного браслета.

Наиболее древние изображения непоуальцинцина относятся к ольмекской культуре (не позднее III в. н. э.).

Типичный непоуальцинцин состоял из 13 рядов, каждый из которых насчитывал по семь бусин, разбитых вертикальным разделителем на две группы: в одной из них было четыре бусины, а в другой — три. Первая группа использовалась для обозначения единиц, вторая — для обозначения пятёрок. Число набиралось путём передвижения бусин в направлении вертикального разделителя. Легко заметить, что каждый ряд мог быть использован для представления чисел от 0 до 3 x 5 + 4 x 1 = 19. Использование 13 рядов позволяло набрать числа вплоть до 2013 – 1, что составляет более 80 квадриллионов, то есть примерно в сто раз больше, чем число песчинок, которые потребуются, чтобы выложить расстояние от Земли до Солнца.

Количество бусин в одном непоуальцинцине (13 x 7 = 91) приблизительно соответствует количеству дней каждого из времён года, в двух непоуальцинцинах (91 x 2 = = 182) — количеству дней от посева кукурузы до её сбора, в трёх (91 x 3 = 273) — средней продолжительности беременности у людей в днях, в четырёх (91 x 4 = 364) — продолжительности года в днях с ошибкой всего-то примерно в 1,25 дня [80] .

Проблема с непоуальцинцином только одна — весьма вероятно, что он вовсе никогда не существовал. По сути, все современные источники отталкиваются от исследований мексиканского инженера-строителя Давида Эспарца Идальго. По словам исследователя, переоткрытие непоуальцинцина стоило ему развода и 18 лет скитаний по горам, пустыням и джунглям [81] . Идальго написал несколько книг про непоуальцинцин и активно пропагандировал использование этого устройства в педагогических целях, однако научное сообщество относится к его выводам довольно прохладно, так как материальная база исследований Идальго более чем скудна.

Немного лучше дела обстоят с абаком инков — «юпаной» (yupay на языке кечуа означает «счёт»). Слово «юпана» на самом деле используется для обозначения двух разных типов объектов. Дощечка-юпана, или археологическая юпана, — дощечка или плитка, на одной из сторон которой вырезана система лотков различного размера. Предполагается, что вычисления производились при помощи зёрен или камешков, размещаемых в лотках. Первая из таких дощечек была найдена в районе города Куэнка в Эквадоре в 1869 г. С тех пор подобные объекты попадались археологам не единожды — они выполнены из различных материалов и довольно сильно отличаются друг от друга.

Также известна так называемая юпана Пома де Айяла — изображение на 360-й странице иллюстрированного манускрипта «Первая новая хроника и доброе правление» (El primer nueva coronica y buen gobierno), созданного в конце XVI — начале XVII в. Отдельный интересный вопрос: какова степень участия в её создании формального автора этой хроники Фелипе Гуамана Пома де Айяла, представителя знатного рода Южного Перу, служившего переводчиком у испанцев? Юпана из хроники представляет собой клетчатое поле размером 5 x 4 клетки. В клетках изображены маленькие окружности, некоторые из них закрашены. Рядом с полем нарисован человек, держащий в руках кипу (от khipu — «узел» на языке кечуа) — сплетение верёвочек с узелками. Сопроводительный текст на следующей странице сообщает примерно следующее: «Они производили счёт на счётной доске, ведя его так: сто тысяч, десять тысяч, [одна тысяча], сто, десять, доходя до единицы. Всё то, что происходит в этом королевстве, они фиксируют: и праздники, и воскресенья, и месяцы, и годы. И каждый город, и селение, и посёлок имели из числа индейцев этих означенных счётчиков и казначеев этого королевства, и считали они следующим образом…» Далее перечисляются названия цифр и чисел на кечуа [82] .

Хотя юпана Пома де Айяла и напоминает археологические юпаны, нельзя обойти стороной и разницу. В первую очередь в глаза бросается то, что, в отличие от прямоугольных полей на изображении, лотки археологических юпан часто другой формы.

Существует несколько интерпретаций изображения хроники Пома де Айяла. Например, в 2008 г. Чинция Флорио предположила, что закрашенные кружки соответствуют единицам, пустые — десяткам, а на юпане изображена операция 32 x 5 = 32 x (2 + 3) = (32 x 2) + (32 x 3) = = 64 + 96 = 160, но результатом стало число 151, потому что автор хроники перепутал цвет одного из кружков [83] .

«Первая новая хроника и доброе правление» — не единственный источник о способах счёта инков. Хосе де Акоста — испанский историк, географ и натуралист, миссионер и член ордена иезуитов — в трактате «Естественная и нравственная история Индии» (Historia natural y moral de las Indias) пишет следующее: «они берут зёрна [кукурузы] и кладут одно сюда, три туда, восемь из другой части; они вынимают из коробки и заменяют три других зёрнышка одни на другие, чтобы в итоге получить безошибочный результат».