Спрашивается, как и где этот язык искать. Я сейчас сделаю шокирующее заявление, но потом попячусь назад. Я вам должен сказать, что сейчас социальная ситуация в мире математики такова, что профессора математики и, прежде всего, те, которые занимаются дифференциальными уравнениями, на самом деле не знают, что это такое. И не потому что они глупые – я хочу сказать другое, я хочу подчеркнуть социо-культурный аспект ситуации. Доказать же это очень просто. Если есть студенты, которые смотрят эту передачу, то любой из них может подойти к своему профессору и спросить: а что такое симметрии дифференциального уравнения? Некоторые профессора вообще не ответят, некоторые скажут: это, как в алгебре, замена переменных, которые не меняют форму уравнения. Этот ответ неправильный. И тогда студент может позвонить в вашу редакцию, и таким образом можно провести некий социальный опрос.

Почему это доказывает, что математики не знают, что такое дифференциальное уравнение? Когда вы имеете четкое представление о каком-то объекте, то… Например, вот круг, он симметричен относительно этого диаметра или этого другого диаметра. А кроме того, его можно вращать, это тоже симметрия. Значит, если вы ясно видите объект, то ясно представляете, каковы его симметрии, то есть такие преобразования, которые его как бы накладывают на себя. Если вы повернете круг, вы не заметите, что что-то изменилось. Вот вы посмотрите на круг, потом отойдете, а я его поверну. Когда вы вернетесь, вы не заметите, что что-то произошло. Это идея симметрии, которая сейчас очень широко используется в физике. В частности, если рассматривать две элементарные частицы, нельзя сказать – где Маша, а где Таня, они близнецы, которых нельзя различить.

Такова ситуация в математике, таково влияние моды, которое нужно преодолевать.

Я хочу сейчас перескочить к квантовой физике, раз уж мы стали об этом говорить. Итак, мы подозреваем, что нужен новый язык. Но как его отыскать? Природа нам тихим голосом дает наводящие указания – и математика тоже. Если мы себе признаемся честно: «я не знаю, что такое дифференциальное уравнение», значит, нужно КОНЦЕПТУАЛЬНО определить, что это такое, и нужны какие-то критерии того, что я действительно это знаю. Например, если я точно знаю что такое дифференциальное уравнение, то я могу точно сказать, что такое его симметрии.

Я раньше вам показал не дифференциальные уравнения, а их запись, как бы их паспорта. Паспорт расскажет бюрократу много полезных вещей, но сути владельца он не раскроет. И точно так же, по этой записи вы мало что узнаете о дифференциальных уравнениях. Но вернемся к языку. Если вы спросите обычного математика, я имею в виду не специалиста по дифференциальным уравнениям, какие он знает дифференциальные уравнения, то нормальный математик вам скажет, что уравнения бывают (я немножко огрубляю) эллиптические, гиперболические и параболические. И больше ничего. Это тоже показывает, что на самом деле мы не знаем, что такое дифференциальное уравнение. И понять это можно, попытавшись нарисовать его портрет.

Когда мы изучаем алгебру, мы рисуем графики функций. Скажем, геометрический образ уравнения «икс квадрат плюс игрек квадрат равняется единице» есть окружность. Это то, чему учат в старших классах школы. Это соответствие между алгеброй и геометрией можно использовать в двух направлениях – можно с помощью алгебры выводить свойства геометрических фигур и, наоборот, глядя на геометрический образ, понять, как решить алгебраическую проблему. Например, великую теорему Ферма, которая столько шума наделала, именно так и решили – создали, это был длительный процесс, геометрию, которая позволяла придти к решению.

Так вот, сейчас мы знаем, как найти геометрический портрет (аналогичный портрету алгебраического уравнения) уравнения в частных производных. Это вещь, которую я не могу попробовать здесь описать. Это нечто нестандартно бесконечномерное, и даже некоторые математики перед этим образом теряют психологическое равновесие. Сейчас даже идет полемика. Некоторые считают, что все это нужно рассматривать на конечном уровне, не на бесконечном. Но это пройдет, потому что это уже позволило решить ряд очень важных задач.

И вот когда мы увидели этот бесконечномерный объект, мы увидели там особое дифференциальное исчисление. Этот объект, если воспользоваться современным языком, – со многими «прибабахами», и эти «прибабахи» называются геометрическими структурами. Стандартное дифференциальное исчисление, которое уважает эти структуры, это – ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. И что меня радует – это то, что новый язык для квантовой теории поля родился сам собой, естественно. Это вторичное дифференциальное исчисление очень хорошо вписывается в проблематику квантовой теории поля.

Например, траектория вторичного векторного поля, это не обычная кривая, а такая, которая удовлетворяет «принципу неопределенности». Она, вообще говоря, не существует, существует виртуально. Но когда мы ее загоним в ящик, как говорят физики, тогда она станет вполне определенной.

Кроме того, в последние годы были наблюдены поразительные совпадения. Физики пытались своими методами прояснить некоторые темные места квантовой теории поля. Мы же размышляли над «дурацкой проблемой» о том, что такое дифференциальные уравнения. Потом совершенно независимо обнаружили, что результаты физиков – это элементы уже «нашей» готовой теории. Мы даже и не думали, что это как-то связано с квантовой физикой. Речь идет, я скажу специалистам, об «антиполях», о «духах» и т.п. Кстати, это научный термин – «дух», ghost. Этот термин сами физики выдумали, в физике есть другие мистические слова – аномалия, перенормировка и так далее. Они указывают на то, что сам этот язык ненормален. Это на самом деле, я бы сказал так, полублатной язык. Физикам просто уже не хватает слов, чтобы объяснить происходящее.