Шрифт:
На самом деле известно, что у шланга есть обхват. Вам, быть может, трудно разглядеть это с расстояния в километр, но если вы вооружитесь биноклем, он увеличит изображение шланга, и вы сможете увидеть этот обхват непосредственно, как показано на рис. 8.1б. Рассматривая увеличенное изображение, вы увидите, что у маленького муравья, живущего на шланге, на самом деле есть два независимых направления для прогулок. Одно из них, как вы уже заметили, проходит влево-вправо по длине шланга, а второе — это измерение «по часовой стрелке — против часовой стрелки», расположенное по окружности шланга. Теперь вы понимаете, что для того, чтобы сказать, где ваш крошечный муравей находится в заданный момент, вы должны указать два числа: положение муравья вдоль длины шланга и его положение на окружности. Это отражает тот факт, что поверхность Садового шланга является двумерной. [66]
66
Это простая идея, однако, поскольку несовершенство нашего обычного языка приводит иногда к недопониманию, приведем два пояснения. Во-первых, мы считаем, что муравей живет на поверхности Садового шланга. Если бы муравей мог зарываться вглубь шланга, т.е. если бы он мог проникать внутрь резины, из которой сделан шланг, нам бы потребовалось три числа, чтобы указать его местоположение, поскольку нужно было бы указать, как глубоко он закопался. Однако если муравей живет только на поверхности шланга, то чтобы указать его положение, достаточно двух чисел. Отсюда следует необходимость второго пояснения. Даже тогда, когда муравей живет на поверхности шланга, мы можем, если захотим, указывать его положение с помощью трех чисел: обычных положений в направлениях влево-вправо, вперед-назад и вверх-вниз в нашем привычном трехмерном пространстве. Однако когда известно, что муравей живет на поверхности шланга, два числа, упомянутые в тексте, представляют собой минимальный набор величин, однозначно определяющих положение муравья. Именно это имелось в виду, когда мы говорили, что поверхность шланга двумерна.
Эти два измерения явно различаются. Направление вдоль шланга является длинным, протяженным, и хорошо видимым. Направление, опоясывающее шланг, является коротким, «свернутым» и трудноразличимым. Для того чтобы узнать о существовании циклического измерения, приходится исследовать шланг с существенно большим разрешением.
Этот пример подчеркивает неочевидную и важную особенность пространственных измерений: они могут быть двух видов. Они могут быть просторными, протяженными и, вследствие этого, доступными непосредственному наблюдению, но они также могут быть маленькими, скрученными и гораздо менее поддающимися обнаружению. Конечно, в нашем примере не пришлось тратить слишком много усилий на то, чтобы обнаружить «свернутое» измерение, опоясывающее ось шланга. Вам было достаточно воспользоваться биноклем. Однако если вам придется иметь дело с очень тонким Садовым шлангом, имеющим обхват волоса или капилляра, обнаружить свернутое измерение будет не так-то просто.
В статье, которую Калуца отправил Эйнштейну в 1919 г., он высказал удивительное предположение. Калуца утверждал, что пространственная структура Вселенной может содержать больше измерений, чем три известных нам из жизненного опыта. Как мы вскоре увидим, мотивом для столь радикальной гипотезы было то, что она позволяла построить элегантный и мощный аппарат, объединяющий общую теорию относительности Эйнштейна и теорию электромагнитного поля Максвелла в единую и однородную концептуальную систему. Но как это предложение может согласовываться с тем очевидным фактом, что мы видим в точности три пространственных измерения?
Ответ, который в неявной форме содержится в работе Калуцы, и который позднее был выражен в явном виде и уточнен шведским математиком Оскаром Клейном в 1926 г., состоит в том, что структура пространства нашей Вселенной может содержать как протяженные, так и свернутые измерения. Это значит, что в нашей Вселенной есть измерения, которые являются просторными, протяженными и легко доступными для наблюдения, подобно длине Садового шланга. Однако, подобно циклическому измерению того же шланга, Вселенная может содержать и дополнительные пространственные измерения, которые туго скручены в ничтожно малой области — столь малой, что она не может быть обнаружена даже с помощью самого современного экспериментального оборудования.
Чтобы получить более ясное представление о сути этого замечательного предложения, вернемся на минуту к примеру с Садовым шлангом. Представим себе, что на шланге черной краской нарисовано с малым шагом большое количество охватывающих его окружностей. Издалека шланг по-прежнему выглядит тонкой одномерной линией. Но, взглянув на него в бинокль, вы обнаружите свернутое измерение; после окраски найти его будет еще легче, чем раньше. Оно будет выглядеть так, как показано на рис. 8.2. Ясно видно, что поверхность шланга является двумерной, с одним крупным и протяженным измерением, а другим небольшим и имеющим форму окружности.
Рис. 8.2. Поверхность Садового шланга является двумерной. Одно измерение(идущее вдоль горизонтальной оси шланга), отмеченное прямой стрелкой, является длинным и протяженным. Другое измерение (окружность шланга), отмеченное круговой стрелкой, является маленьким и свернутым.
Калуца и Клейн предположили, что аналогичную структуру имеет и наша Вселенная, только в ней имеется три обычных, протяженных измерения и одно маленькое, циклическое; таким образом, общее число пространственных измерений равно четырем. Нарисовать предмет в пространстве с таким числом измерений непросто, поэтому для большей наглядности мы ограничились случаем двух протяженных и одного маленького циклического измерения. Мы изобразили это на рис. 8.3, где структура пространства последовательно увеличивается примерно так же, как в случае поверхности Садового шланга.
Самое нижнее изображение на рисунке показывает видимую структуру пространства — обычный окружающий нас мир в привычном масштабе расстояний, например, в метрах. Эти расстояния представлены самой редкой сеткой. На последующих изображениях структура пространства показана со все большим увеличением: мы фокусируем взгляд на все меньших областях, которые последовательно увеличиваем, чтобы сделать их видимыми. Сначала при переходе к меньшим расстояниям не происходит ничего особенного; на первых трех уровнях увеличения пространство сохраняет основные особенности своей структуры. Однако, по мере того как мы продолжаем наше путешествие вглубь микромира, на четвертом уровне увеличения на рис. 8.3 появляется новое, свернутое циклическое измерение, напоминающее круговые петли на ковре плотной вязки.
Рис. 8.3. Как и на рис. 8.1, каждый последующий уровень представляет значительное увеличение пространственной структуры, показанной на предыдущем уровне. Видно, что наша Вселенная может иметь дополнительные измерения (как это показано на четвертом уровне увеличения), коль скоро они свернуты в столь малые пространственные образования, что не поддаются прямому наблюдению.
Калуца и Клейн предположили, что дополнительное циклическое измерение существует в каждой точке пространства, определяемого протяженными измерениями, точно так же, как круговой ободок существует в каждой точке вдоль оси развернутого горизонтального шланга. (Для большей наглядности мы изобразили циклические измерения только в точках, равномерно расположенных на протяженных измерениях.) На рис. 8.4 крупным планом показана микроструктура пространства, какой ее видели Калуца и Клейн.