Наконец, чтобы привести третий, иного рода пример, заметим еще, что и так называемые метафизические истины, как их изложил Кант в «Метафизических началах естествознания», своей очевидностью обязаны не доказательствам. A priori несомненное мы познаем непосредственно: как форма всякого познания оно сознается нами с предельной необходимостью. Например, то, что материя постоянна, т. е. не может ни возникнуть, ни уничтожиться, это мы знаем непосредственно как отрицательную истину, ибо наше чистое созерцание пространства и времени дает возможность движения, а рассудок, в законе причинности, дает возможность изменения формы и качества; но для возникновения или уничтожения материи у нас нет соответственных форм представления. Вот почему эта истина была очевидна во все времена, всюду и для каждого и никогда серьезно не подвергалась сомнению; этого не могло бы быть, если бы она не имела иной основы познания, кроме кантовского доказательства, столь трудного и балансирующего на острие иглы. Кроме этого я (как выяснено в приложении) нашел кантовское доказательство неправильным, и я показал выше, что постоянство материи следует выводить из участия, которое имеет в возможности опыта не время, а пространство. Действительное обоснование всех истин, называемых в этом смысле метафизическими, т. е. абстрактных выражений необходимых и общих форм познания, не может заключаться опять-таки в абстрактных положениях: оно состоит только в непосредственном осознании форм представления, a priori проявляющемся в аподиктических и недоступных никакому опровержению тезисах. Если же все-таки хотят дать доказательство таких истин, то оно может состоять лишь в указании на то, что в какой-нибудь несомненной истине уже заключена доказываемая истина как часть или как предпосылка. Так, например, я выяснил, что всякое эмпирическое созерцание уже содержит в себе применение закона причинности, познание которого является поэтому условием всякого опыта и не может, таким образом, происходить и зависеть от него, как утверждал Юм.

Доказательства вообще менее служат для тех, кто хочет учиться, чем для тех, кто хочет спорить. Последние упорно отвергают непосредственно достоверную мысль: только истина может быть всесторонне последовательна; поэтому спорщикам надо показать, что они под одной формой и косвенно соглашаются с тем, что они под другой формой и непосредственно отвергают, — т. е. им надо показать логически необходимую связь между отрицаемым и признаваемым.

Кроме того, научная форма, т. е. подчинение всего особенного всеобщему в восходящем порядке, влечет за собою то, что истинность многих положений обосновывается только логически, а именно, их зависимостью от других положений, т. е. посредством умозаключений, которые вместе с тем выступают в качестве доказательств. Но никогда не следует забывать, что вся эта научная форма является средством только для облегчения познания, а не для достижения большей достоверности. Легче узнать свойство какого-нибудь животного из вида, к которому оно принадлежит, восходя далее к роду, семейству, порядку и классу, чем каждый раз исследовать данное животное в отдельности; но истинность всех положений, выводимых с помощью умозаключений, постоянно обусловлена и в конце концов зависит от какой-нибудь другой истины/которая основывается не на умозаключениях, а на созерцании. Если бы последнее всегда было для нас столь же близко, как вывод с помощью умозаключения, то его, безусловно, следовало бы предпочитать. Ибо всякий вывод из понятий, ввиду указанного выше многообразного совпадения сфер между собою и частых колебаний в определении их содержания, может оказаться обманчивым; примерами этого служат столь многочисленные доказательства лжеучений и софизмы всякого рода. Умозаключения по форме своей, правда, вполне верны, но они очень ненадежны по своей материи — понятиям, отчасти потому, что сферы последних не всегда строго разграничены, отчасти потому, что они многообразно пересекаются между собою, и одна сфера отдельными своими частями содержится во многих других, так что можно произвольно переходить из нее в ту или другую сферу, а затем и далее, как уже было показано. Или, другими словами: terminus minor [меньший термин], как и medius [средний], могут быть всегда подчинены различным понятиям, из которых по желанию выбирают terminus major [больший термин] и medius, в соответствии с чем заключение выходит разное.

Итак, везде непосредственная очевидность гораздо предпочтительнее доказанной истины, и последней надо пользоваться лишь там, где первую пришлось бы искать слишком далеко, а не там, где очевидность столь же близка или еще ближе, чем доказанная истина. Выше мы уже видели, что, действительно, в логике, там, где непосредственное познание в каждом отдельном случае для нас ближе, чем производное научное, мы в своем мышлении всегда руководствуемся только непосредственным познанием законов мышления и не пользуемся логикой. [74]

И вот, если при нашем убеждении, что созерцание — первый источник всякой очевидности, что только непосредственное или косвенное отношение к нему представляет абсолютную истину, что, далее, ближайший путь к ней — самый надежный, так как всякое посредничество понятий сопряжено с многочисленными заблуждениями; если, говорю я, при таком убеждении мы обратимся к математике, как она установлена Евклидом в качестве науки и в общем сохранилась и доныне, то нам нельзя будет не признать пути, которым она идет, странным и даже превратным. Мы требуем, чтобы каждое логическое доказательство сводилось к наглядному; она, наоборот, сознательно прилагает все усилия к тому, чтобы отвергнуть свойственную ей, всюду близкую наглядную очевидность и заменить ее логической. Мы должны сознаться: это похоже на то, как если бы кто-нибудь отрезал себе ноги, чтобы ходить на костылях, или на то, как принц в «Торжестве чувствительности» убегает от реальной прекрасной природы, чтобы любоваться театральной декорацией — ее подражанием.

Я должен напомнить здесь то, что сказано мною в шестой главе трактата о законе основания, и предполагаю это сохранившимся свежим в памяти читателя, так что свои замечания я связываю с изложенным в названной главе, не объясняя заново разницы между просто основанием познания математической истины, — что может быть дано логически, и основанием бытия, — этой непосредственной, лишь наглядно познаваемой связью частей пространства и времени, связью, постижение которой только и дает истинное удовлетворение и основательное знание, тогда как просто основа познания всегда остается на поверхности и может только объяснить, что это так, но не почему это так. Евклид избрал последний путь к явному ущербу для науки. Ибо уже в самом начале, например, где он должен был бы раз навсегда показать, как в треугольнике углы и стороны взаимно определяются и служат основанием и следствием друг друга, согласно форме закона основания, господствующей в одном пространстве и влекущей за собою там, как и всюду, необходимость, чтобы нечто одно было таково, каково оно есть, ибо совершенно отличное от него другое таково, каково оно есть; вместо того, чтобы этим путем дать глубокое проникновение в существо треугольника, он выдвигает несколько отрывочных, произвольно выбранных теорем о треугольнике и выясняет их логическую основу познания посредством многотрудной, логически построенной аргументации по закону противоречия. Вместо исчерпывающего познания этих пространственных отношений мы получаем, таким образом, лишь немногие, произвольно сообщенные выводы из них, и мы находимся в таком же положении, как человек, которому показали различные действия хитро налаженной машины, но не объяснили ее внутренней связи и устройства. То, что все, доказываемое Евклидом, обстоит именно так, с этим мы, побуждаемые законом противоречия, должны согласиться; но почему это так, мы не узнаем. Поэтому испытываешь почти неприятное чувство, как после проделок фокусника, и на них в самом деле поразительно похоже большинство евклидовых доказательств. Истина почти всегда приходит с заднего крыльца, обнаруживаясь per accidens из какого-нибудь побочного обстоятельства. Часто анагогическое доказательство закрывает все двери, одну за другой, и оставляет открытой лишь одну, в которую потому поневоле и входишь. Часто, как в пифагоровой теореме, проводятся линии, неизвестно почему; потом оказывается, что это были сети, которые неожиданно затягиваются и ловят согласие учащегося, и он, к своему изумлению, должен признать то, что по своей внутренней связи остается для него совершенно непонятным, — до такой степени, что он может проштудировать всего Евклида, не достигнув истинного понимания законов пространственных отношений, а вместо этого заучив лишь некоторые выводы из них. Это собственно эмпирическое и ненаучное знание похоже на сведения врача, который знает болезнь и средство против нее, но не знает их взаимной связи. И все это является результатом того, что свойственный известному виду познания характер доказательства и очевидности своевольно отвергают и насильственно заменяют его другим, чуждым существу данного знания. Впрочем, метод, каким пользовался Евклид, заслуживает всяческого восхищения, и оно сопровождало его творца в течение многих веков и зашло так далеко, что его математические приемы были сочтены образцом научного изложения, которому старались подражать во всех других науках и от которого впоследствии все-таки отвернулись, не зная, однако, почему. В наших же глазах метод Евклида в математике предстает лишь блестящим извращением. Но для каждого великого заблуждения, будь то в жизни или в науке, имевшего преднамеренный и методический характер и сопровождавшегося всеобщим одобрением, всегда можно найти причину в философии, какая господствовала в то время.

Элеаты впервые открыли различие, а иногда и противоречие между являющимся, φαινομενον, и мыслимым, νοουμενον, [75] и многообразно воспользовались этим для своих философем и для своих софизмов. По их стопам впоследствии пошли мегарцы, диалектики, софисты, новые академики и скептики. [76] Они обратили внимание на призрачность, т. е. обман чувств, или, скорее, рассудка, превращающего данные чувств в созерцание; этот обман часто заставляет нас видеть такие вещи, которым разум уверенно отказывает в реальности, — например, переломленную палку в воде и т. п. Было понятно, что чувственному созерцанию нельзя доверять безусловно, и отсюда поспешно заключили, будто одно лишь разумное логическое мышление служит порукой истины, хотя Платон (в «Пармениде»), мегарцы, Пиррон [77] и новые академики показали на примерах (как позднее в том же роде Секст Эмпирик), что, с другой стороны, умозаключения и понятия тоже вводят в заблуждение и даже влекут за собой паралогизмы [78] и софизмы, которые возникают гораздо легче и разрешаются гораздо труднее, чем призрачность в чувственном созерцании. И тем не менее, рационализм, возникший в противовес эмпиризму, одержал верх, и в соответствии с ним Евклид обработал математику, поневоле обосновывая наглядной очевидностью (φαινομενσν) только одни аксиомы, а все остальное — умозаключениями (νοουμενσν). Его метод господствовал в течение всех веков, и этому не было бы конца, если бы не было установлено различие между чистым созерцанием a priori и эмпирическим созерцанием. Впрочем, уже комментатор Евклида Прокл, по-видимому, вполне сознавал эту разницу, как показывает у него то место, которое Кеплер перевел на латинский язык в своей книге De harmonia mundi; но Прокл не придал этому вопросу достаточной важности, поставил его слишком изолированно, остался незамеченным и не достиг цели. Только две тысячи лет спустя учение Канта, которому суждено провести столь великие перемены во всем знании, мышлении и деятельности европейских народов, оказало такое же влияние и на математику. Ибо лишь после того, как этот великий ум научил нас, что созерцания пространства и времени совершенно отличны от эмпирических, вполне независимы от всякого воздействия на чувства и обусловливают его, а не обусловливаются им, т. е. априорны и потому совсем недоступны иллюзиям чувств, — лишь после этого мы в состоянии понять, что логические приемы Евклида в математике являются ненужной предосторожностью, костылем для здоровых ног, что они подобны путнику, который, приняв ночью ясный, твердый путь за воду, боится ступить на него и все время ходит около по ухабистой почве и рад время от времени наталкиваться на мнимую воду. Лишь теперь мы можем с уверенностью утверждать, что то необходимое, что представляется нам при созерцании какой-нибудь фигуры, вытекает не из ее чертежа на бумаге, быть может, очень дурно исполненного, и не из абстрактного понятия, мыслимого при этом, а непосредственно из a priori известной нам формы всякого познания. Эта форма везде — закон основания; здесь она как форма созерцания, т. е. пространство, является законом основания бытия; но очевидность и значение его так же велики и непосредственны, как очевидность и значение закона основы познания, т. е. логическая достоверность. Поэтому нам нет нужды и не следует доверять только последней и покидать свойственную математике сферу для того, чтобы искать ей подтверждение в совершенно чуждой для нее области понятий. Оставаясь на свойственной математике почве, мы получаем то великое преимущество, что здесь знание того, что нечто обстоит так, совпадает со знанием того, почему это так, — между тем как евклидовский метод совершенно разделяет оба эти знания и дает лишь первое, а не последнее. Аристотель прекрасно говорит в Analyt. post. I, 27: «Знание сразу и о том, что есть, и о том, почему есть, более точно и первично, чем отдельно знание о том, что есть, и о том, почему есть». Ведь в физике мы только тогда испытываем удовлетворение, когда знание, что нечто обстоит так, соединяется со знанием, почему это так; что ртуть в торичеллиевой трубке подымается на высоту 28 дюймов, — это плохое знание, если не прибавить к нему, что ртуть держится на такой высоте противодействием воздуха. Почему же в математике мы должны довольствоваться тем qualitas occulta [скрытое качество] круга, что отрезки каждых двух пересекающихся в нем хорд всегда образуют равные прямоугольники? Что это так, Евклид в самом деле доказывает в 35-й теореме третьей книги; но почему это так, еще неизвестно. Точно так же и пифагорова теорема знакомит нас с qualitas occulta прямоугольного треугольника; ходульное, даже коварное доказательство Пифагора оставляет нас беспомощными при вопросе почему, между тем как прилагаемая уже известная нам простая фигура при первом же взгляде на нее уясняет дело гораздо лучше этого доказательства и внушает глубокое внутреннее убеждение в необходимости этого свойства и его зависимости от простого угла.

И при неравных катетах должна существовать возможность такой же наглядной убедительности, как и вообще при всех возможных геометрических истинах, — уже потому, что открытие подобной истины вытекало из такой созерцаемой необходимости, а доказательство придумывалось лишь только потом. Поэтому нужно лишь проанализировать ход мысли, совершенный при первом открытии геометрической истины, чтобы наглядно понять ее необходимость. Вообще я желал бы, чтобы математика преподавалась с помощью аналитического метода вместо синтетического, который применял Евклид. Правда, для сложных математических истин это было бы сопряжено с очень большими, хотя и не непреодолимыми трудностями. В Германии в разных местах уже начинают изменять преподавание математики и чаще идут по этому аналитическому пути. Решительнее всех это сделал г. Козак, учитель математики и физики в Нордхаузенской гимназии: к программе экзаменов 6 апреля 1852 г. он присоединил обстоятельную попытку изложения геометрии по указанным мною принципам.

Для улучшения математического метода в особенности необходимо отрешиться от предрассудка, будто доказанная истина имеет какие-то преимущества сравнительно с познанной наглядно, или будто логическая истина, основанная на законе противоречия, лучше метафизической, которая непосредственно очевидна и к которой принадлежит также чистое созерцание пространства.

Самое достоверное и повсюду необъяснимое, это — содержание закона основания. Ибо он в своих различных видах выражает всеобщую форму всех наших представлений и познаний. Всякое объяснение — это сведение к нему, указание в отдельном случае на выражаемую им вообще связь представлений. Он является, следовательно, принципом всех объяснений и потому сам не поддается объяснению и не нуждается в нем, так как всякое объяснение уже предполагает его и лишь через него получает свое значение. При этом ни один из его видов не имеет преимущества перед другими: он равно достоверен и недоказуем как закон основания бытия, или становления, или действия, или познания. Отношение основания к следствию как в одном, так и в других его видах имеет необходимый характер; оно вообще является источником и единственным смыслом понятия необходимости. Не существует другой необходимости, кроме той, что необходимо следствие, если дано основание, и не существует основания, которое не влекло бы за собой необходимости следствия. И подобно тому, как несомненно из данного в посылках основания познания вытекает выражаемое в заключении следствие, так же несомненно основание бытия в пространстве; если я наглядно понял соотношение двух последних, то его несомненность так же велика, как и любая логическая достоверность. А выражением такого соотношения и служит каждая геометрическая теорема, — не менее, чем какая-нибудь из двенадцати аксиом: ведь теорема представляет собой метафизическую истину и таковая столь же непосредственно достоверна, как и самый закон противоречия, являющийся металогической истиной, и общей основой всякого логического доказательства. Кто отрицает наглядно представленную необходимость пространственных отношений, выражаемых в какой-либо теореме, тот может с одинаковым правом отрицать и аксиомы, с одинаковым правом отрицать вывод заключения из посылок и даже самый закон противоречия: ибо все это — одинаково недоказуемые, непосредственно очевидные и a priori познаваемые отношения. Поэтому, если наглядно познаваемую необходимость пространственных отношений хотят непременно выводить путем логического доказательства из закона противоречия, то это похоже на то, как если бы непосредственному владельцу земли кто-то другой захотел отдать, ее сперва в ленное владение. Именно так поступает Евклид. Только свои аксиомы он поневоле обосновывает непосредственной очевидностью; все же последующие геометрические истины подвергаются логическому доказательству, основанному либо на предпосылке этих аксиом и согласии со сделанными в теореме допущениями или с какой-нибудь прежней теоремой, либо на том, что противоположность теоремы противоречит допущениям, аксиомам, прежним теоремам или даже самой себе. Но аксиомы не имеют большей непосредственной очевидности, чем любая другая геометрическая теорема: они только проще, потому что менее содержательны.