[Примечание. Объединяя решения задач 264 и 265, можно утверждать, что на любом острове, удовлетворяющем условиям E1, E2, C и H, заведомо найдется непризнанный рыцарь и неотъявленный лжец. Этот результат в действительности представляет собой "замаскированную"

форму знаменитой теоремы Гёделя о неполноте, к которой мы еще вернемся в разделе В этой главы.]

Если вы хотите предложить одному из ваших друзей действительно трудную задачу, задайте ему задачу 264 для острова, удовлетворяющего условиям E1, E2, C и H, (об условии G пока умолчите). Выведет ли ваш приятель самостоятельно условие G?

Б. ДВАЖДЫ ГЕДЕЛЕВЫ ОСТРОВА

Задачи этого раздела представляют более специальный интерес, и ознакомление с ними можно отложить до прочтения раздела B.

Под дважды гёделевыми островами мы будем понимать острова рыцарей и лжецов, объединенные в клубы, удовлетворяющие условию CG.

CG: для любых двух клубов C1, C2 найдутся островитяне A, B, о которых известно следующее: A утверждает, что B состоит членом клуба C1, а B утверждает, что A состоит членом клуба C2.

Насколько мне известно, из условия CG не следует условие G, а из условия G не следует условие CG. Оба условия выглядят совершенно независимыми, поэтому (насколько мне известно)

дважды гёделевы острова не обязательно должны быть гёделевыми островами.

Изучение дважды гёделевых островов - мой "конек".

Задачи, связанные с ними, имеют такое же отношение к парадоксу Журдэна с двусторонней карточкой (см. задачу 254 в предыдущей главе), какое задачи о гёделевых островах имеют к парадоксу лжецов.

266. Дважды гёделев остров S.

Однажды мне посчастливилось открыть дважды гёделев остров S, для которого выполняются условия E1, E2 и C острова G.

а) Можно ли определить, найдется ли на острове S хоть один непризнанный рыцарь? Что можно сказать о неотъявленном лжеце?

б) Можно ли установить, состоят ли рыцари острова S членами одного клуба? A лжецы?

Решение. Начнем со второй части задачи. Если все рыцари острова состоят членами одного клуба, то (по условию C) все лжецы также состоят членами одного клуба, а если все лжецы острова S состоят членами одного клуба, то (в силу того же условия C) рыцари также состоят членами одного клуба.

Следовательно, если представители одной из двух групп населения острова (либо рыцари, либо лжецы) состоят членами одного клуба, то представители каждой из двух групп состоят членами одного клуба. Итак, предположим, что все рыцари состоят членами одного клуба и что все лжецы состоят членами одного клуба. Тогда по условию CG должны найтись островитяне A, B, высказывающие следующие утверждения:

A: B - лжец.

B: A - рыцарь.

Как показано в решении задачи 259 в предыдущей главе, это невозможно. Следовательно, все рыцари не могут состоять членами одного клуба, и все лжецы не могут состоять членами одного клуба.

Что касается первой половины задачи, то ее можно решить двумя способами. Первый из них проще того способа, которым мы только что решили вторую часть задачи, зато второй способ более поучительный.

Первый способ. Так как все рыцари не состоят членами одного клуба, а все признанные рыцари состоят членами одного клуба, то множество всех рыцарей не совпадает с множеством всех признанных рыцарей. Следовательно, не все рыцари признанные. Аналогично не все лжецы отъявленные.

Второй способ. Так как все признанные рыцари состоят членами одного клуба, то все островитяне, не принадлежащие к числу признанных рыцарей, также состоят членами одного; клуба. Если эти клубы выбрать в качестве клубов C1, C2, то (по условию CG) найдутся островитяне A, B, высказывающие следующие утверждения:

A: B - признанный рыцарь.

B: A - не признанный рыцарь.

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что по крайней мере один из островитян A, B должен быть признанным рыцарем (точнее говоря, требуется доказать, что если A - рыцарь, то он не признанный рыцарь, а если A - лжец, то B должен быть не признанным рыцарем. Установить, кто из островитян A, B не признанный рыцарь, мы не можем, хотя и знаем, что кто-то из них не признанный рыцарь. [С точно такой же ситуацией мы уже сталкивались в задаче 134 (о паре шкатулок, изготовленных Беллини и Челлини): одна из шкатулок заведомо должна быть работы Беллини, но установить, какую из двух шкатулок изготовил Беллини, невозможно.]

Аналогичным образом, так как все отъявленные лжецы состоят членами одного клуба, то все островитяне, не принадлежащие множеству отъявленных лжецов, также состоят членами одного клуба. Следовательно (по условию CG), непременно найдутся островитяне A, B, высказывающие следующие утверждения:

A: B - отъявленный лжец,

B: A - не отъявленный лжец.

Отсюда мы заключаем, что если B - лжец, то он не отъявленный лжец, а если B - рыцарь, то A - не отъявленный лжец (доказательство этого утверждения мы также предоставляем читателю). Итак, в любом случае либо A, либо B - не отъявленный лжец, но мы не знаем, кто именно. (По существу эта задача ничем не отличается от задачи 135 о двух шкатулках, изготовленных Беллини и Челлини.)