Начиная с V века центр математической культуры постепенно перемещается на восток — к индусам и арабам. Математика индусов была числовой. Она отмечена стремлением достичь строгости эллинов в доказательствах и обосновании геометрии, довольствуясь чертежами. Основные достижения индусов состоят в том, что они ввели в обращение цифры, называемые нами арабскими, и позиционную систему записи чисел, обнаружили двойственность корней квадратного уравнения, двузначность квадратного корня и ввели отрицательные числа. Первое известное нам применение десятичной позиционной системы относится к 595 году — сохранилась плита, на которой число лет 346 записано в такой системе.

Наиболее известными математиками Индии были Ариабхата (прозванный «первым», около 500 г.) и Брахмагупта (около 625 г.). Индусы рассматривали числа безотносительно к геометрии. Они распространили правила действия над рациональными числами на числа иррациональные, производя над ними непосредственные выкладки.

Еще одно достижение индусов в совершенствовании алгебраической символики состоит в том, что они ввели обозначения нескольких различных неизвестных и их степеней. Как у Диофанта, они были по сути дела сокращениями слов.

Вслед за индийскими математиками пользоваться правилом положения стали математики Ближнего и Среднего Востока. Особую роль в истории развития алгебры в первой половине IX века сыграл трактат аль-Хорезми на арабском языке под названием «Книга о восстановлении и противопоставлении» (на арабском языке — «Китаб аль-джебр валь-мукабала»). Позднее при переводе на латинский язык арабское название трактата было сохранено. С течением времени «аль-джебр» сократили до «алгебры».

В трактате решение уравнений рассматривается уже не в связи с арифметикой, а как самостоятельный раздел математики. Арабский математик показывает, что в алгебре применяются неизвестные, их квадраты и свободные члены уравнений. Аль-Хорезми назвал неизвестное «корнем». При решении различных видов уравнений аль-Хорезми предлагает переносить отрицательные члены уравнений из одной части в другую, называя это восстановлением. Вычитание равных членов из обеих частей уравнения при этом он называет противопоставление (валь мукабала).

«В своем трактате аль-Хорезми, — отмечает Александр Свечников, — рассматривает неизвестное число как величину особого рода, вводит термин корень, свободный член называет дирхем (так в то время называли и денежную единицу). Он распределяет уравнения по видам, разъясняет, как применять правила восполнения и противопоставления, формулирует правила решения уравнений различных видов.

В рукописях аль-Хорезми все математические выражения и все выкладки записаны словами, вот почему алгебру того времени и более поздних времен называли риторической, т. е. словесной. В период работы над алгебраическим трактатом аль-Хорезми уже знал о числовой алгебре Вавилона и других стран Востока. Он был знаком с геометрической алгеброй греков и достижениями индийских астрономов и математиков.

Аль-Хорезми выделил алгебраический материал в особый раздел математики и освободил его от геометрического толкования, хотя в некоторых случаях пользовался геометрическими доказательствами. Алгебраический труд аль-Хорезми стал образцом, который изучали и которому подражали многие математики более позднего времени. Последующие алгебраические сочинения и учебники по своему характеру стали приближаться к современным. Алгебраический трактат аль-Хорезми послужил началом создания науки алгебры. Он был в числе первых сочинений по математике, переведенных на латинский язык. В то время в Европе все научные труды писали и печатали на латинском языке».

При решении задачи главное — осмысление содержания задачи, способность выразить его на языке алгебры. Проще говоря, записать условие задачи посредством символов — математических знаков.

Диофант, как уже говорилось, дал понятие об алгебраическом уравнении, записанном символами, однако очень далекими от современных. Первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины Франсуа Виет. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона.

Франсуа Виет (1540–1603) родился на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт. Отец Виета был прокурором. По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери — двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

В 1671 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.

В 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать от имени короля выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

Находясь на государственной службе, Виет оставался ученым. Он прославился тем, что сумел расшифровать код перехваченной переписки короля Испании с его представителями в Нидерландах, благодаря чему король Франции был полностью в курсе действий своих противников.