Первое из открытий Галуа состояло в том, что он уменьшил степень неопределенности их значений, т. е. установил некоторые из «свойств» этих корней. Второе открытие связано с методом, использованным Галуа для получения этого результата. Вместо того чтобы изучать само уравнение, Галуа изучал его «группу», или, образно говоря, его «семью».

«Группа, — пишет А. Дальма, — это совокупность предметов, имеющих определенные общие свойства. Пусть, например, в качестве таких предметов взяты действительные числа. Общее свойство группы действительных чисел состоит в том, что при умножении любых двух элементов этой группы мы получаем также действительное число. Вместо действительных чисел в качестве „предметов“ могут фигурировать изучаемые в геометрии движения на плоскости; в таком случае свойство группы заключается в том, что сумма любых двух движений дает снова движение. Переходя от простых примеров к более сложным, можно в качестве „предметов“ выбрать некоторые операции над предметами. В таком случае основным свойством группы будет то, что композиция любых двух операций также является операцией. Именно этот случай и изучал Галуа. Рассматривая уравнение, которое требовалось решить, он связывал с ним некоторую группу операций (к сожалению, мы не имеем возможности уточнить здесь, как это делается) и доказывал, что свойства уравнения отражаются на особенностях данной группы. Поскольку различные уравнения могут иметь одну и ту же группу, достаточно вместо этих уравнений рассмотреть соответствующую им группу. Это открытие ознаменовало начало современного этапа развития математики.

Из каких бы „предметов“ ни состояла группа: из чисел, движений или операций, — все они могут рассматриваться как абстрактные элементы, не обладающие никакими специфическими признаками. Для того чтобы определить группу, надо только сформулировать общие правила, которые должны выполняться для того, чтобы данную совокупность „предметов“ можно было назвать группой. В настоящее время математики называют такие правила групповыми аксиомами, теория групп состоит в перечислении всех логических следствий из этих аксиом. При этом последовательно обнаруживаются все новые и новые свойства; доказывая их, математик все более и более углубляет теорию. Существенно, что ни сами предметы, ни операции над ними никак не конкретизируются. Если после этого при изучении какой-нибудь частной задачи приходится рассмотреть некоторые специальные математические или физические объекты, образующие группу, то, исходя из общей теории, можно предвидеть их свойства. Теория групп, таким образом, дает ощутимую экономию в средствах; кроме того, она открывает новые возможности применения математики в исследовательской работе».

Введение понятия группы избавило математиков от обременительной обязанности рассматривать множество различных теорий. Оказалось, что нужно лишь выделить «основные черты» той или иной теории, и так как, по сути дела, все они совершенно аналогичны, то достаточно обозначить их одним и тем же словом, и сразу становится ясно, что бессмысленно изучать их по отдельности.

Галуа стремится внести в разросшийся математический аппарат новое единство. Теория групп — это, прежде всего, наведение порядка в математическом языке.

Теория групп, начиная с конца XIX века, оказала огромное влияние на развитие математического анализа, геометрии, механики и, наконец, физики. Оно впоследствии проникло в другие области математики — появились группы Ли в теории дифференциальных уравнений, группы Клейна в геометрии. Возникли также группы Галилея в механике и группы Лоренца в теории относительности.

По определению Евклида параллельные линии — прямые, лежащие в одной плоскости и никогда не встречающиеся, как бы далеко мы их ни продолжали.

Но уже древнейшие комментаторы Евклида Посидоний (II век до нашей эры), Геминус (I век до нашей эры), Птолемей (II век нашей эры) — не считали пятый постулатум Евклида имеющим ту же очевидность, как другие по-стулатумы и аксиомы Евклида, и пытались или вывести его, как следствие других положений, или заменить определение параллельных, данное Евклидом, другим определением.

Во второй половине XVII столетия Лейбниц также критически относился к основным положениям Евклида. Как известно, он хотел также построить чисто геометрической анализ, который непосредственно выражал бы свойства положения, подобно тому как алгебра выражает величину.

Но только в первой половине XVIII века приходит мысль применить к вопросу о параллельных линиях и систематически провести в теории параллельных линий тот метод доказательства от противного, которым так часто пользовались греческие математики.

Эта гениальная идея принадлежала Саккери. В сочинении, появившемся в год его смерти «Евклид, избавленный от всякого пятна», Саккери берет исходным пунктом четырехугольник, которого две противоположные стороны, перпендикулярные к основанию, равны между собой. В таком четырехугольнике углы, образуемые равными сторонами с стороною, противоположною основанию, равны, и доказательство этого свойства четырехугольника не зависит от постулатума Евклида. Если они прямые, то постулатум Евклида доказан, так как в этом случае сумма углов треугольника равна двум прямым. Но Саккери (и в этом состоит его оригинальная гениальная мысль) делает и две другие гипотезы — гипотезу острого и гипотезу тупого угла, выводит из этих гипотез вытекающие следствия и пытается доказать невозможность этих следствий, т. е. допустимость только одной гипотезы прямого угла. Ему легко удается доказать, что гипотеза тупого угла недопустима, так как приводит к противоречиям. Для того чтобы найти такое же противоречие в гипотезе острого угла, он выводит ряд замечательных теорем, которые потом были снова доказаны Лежандром. Таковы, например, теоремы, по которым если та или другая или третья гипотеза имеет место для одного четырехугольника, то она имеет место и для всякого другого.

Через три года после ее появления, в 1766 году, Ламберт ставит ту же задачу, что и Саккери. Вместо четырехугольника с двумя прямыми углами и двумя равными сторонами Ламберт рассматривает четырехугольник с тремя прямыми углами и делает три гипотезы относительно четвертого угла. Его изложение имеет некоторые особенности сравнительно с изложением Саккери: он избегает прибегать к соображениям, основанным на непрерывности. Из того, что в гипотезах тупого и острого угла не существует подобия фигур, Ламберт выводит заключение о существовании абсолютной меры.

В 1799 году гениальный математик Карл Гаусс пошел по тому пути, по которому до него шли Саккери и Ламберт, — по пути планомерного вывода всех следствий гипотезы острого угла. Но его размышления привели к сомнению в возможности доказать аксиому Евклида, и к 1816 году у математика созрело убеждение в невозможности такого доказательства.

Высказанное публично мнение Гаусса о недоказуемости аксиомы Евклида не имело влияния и даже подверглось грубым нападкам. Это было одной из причин, почему он решился не публиковать своих исследований и мыслей по вопросу об основаниях, «боясь крика бео-тийцев» (письмо к Бесселю от 27 января 1829 года). Но он не прервал своих исследований и с величайшим интересом и сочувствием приветствовал те работы и мысли, которые совпадали с его исследованиями и взглядами.