P.S.

Когда верстался номер, пришло сообщение о том, что на участке № 192 в Хамовниках, где голосовал глава «Яблока» Сергей Митрохин с семьей и где по официальным результатам не было подано ни одного голоса за «Яблоко», в соответствии с решением Хамовни-ческого суда был произведен пересчет бюллетеней. В результате пересчета среди 87 бюллетеней, ранее засчитанных КПРФ, было найдено 16 бюллетеней за «Яблоко», 3 бюллетеня за ЛДПР и 1 за «Патриотов России». Среди 29 бюллетеней за «Справедливую Россию» было найдено 2 недействительных. Среди 904 бюллетеня за «Единую Россию» неправильно подсчитанных обнаружено не было.

Таким образом, среди 116 бюллетеней, поданных за оппозиционные партии, оказалось 22 неверно учтенных, а среди 904 бюллетеней за ЕР — ни одного. Нетрудно подсчитать, что вероятность такого события, в предположении, что при изначальном подсчете все бюллетени учитывались одинаково тщательно и пересчет выполнен точно, составляет (116!*998!)/(94!*1020!), т.е. примерно 2,5 на 10 в минус 22-й степени. Российская избирательная система еще раз подтвердила, что для нее нет непреодолимых препятствий в теории вероятностей.

С.Шпилькин, независимый исследователь

87

Любому человеку, имевшему опыт столкновения с математическим анализом, известно: тяжело вначале — потом довольно легко. Кажется, даже медведя можно обучить дифференцировать по заданным правилам. Искать пределы на практике тоже можно наловчиться. А вот дать точное определение предела последовательности или функции да еще объяснить его может лишь один студент технического вуза из пяти (о старшеклассниках и говорить не приходится). Действительно, банальная сходимость последовательности x(n) к 5 формально выглядит как

>0 N: n>N x(n) — 5 < .

(Для людей, не ежедневно соприкасающихся с математическим анализом, привожу вариант определения на русском языке: «Для любого, возможно очень маленького, но положительного числа эпсилон всегда найдется номер, зависящий от этого эпсилон такой, что все члены последовательности с номерами больше этого отличаются от 5 менее чем на эпсилон».)

Возникает искушение говорить о предмете неформально. Например, определение вектора как «направленного отрезка» ненаучно, но на практике не приводит ни к каким бедам. Такой неформальный, разговорный подход к теме можно уподобить черному ходу в дом. Но в нашем случае черный ход (правдоподобные разговоры об «очень маленьких числах») ведет в другой дом. Напомним вкратце историю предмета, впрочем, хорошо известную специалистам.

Анализ бесконечно малых возник в головах Ньютона и Лейбница в XVII в. Эти два гения, не нуждаясь в формализации своих интуитивных озарений, делали верные умозаключения. Но даже великие математики того времени, полагаясь на интуитивное полупонимание предмета, совершали нелепые и комические ошибки. И лишь 200 лет спустя Коши и Адамар сочинили «язык е — А», на котором можно доказательно рассуждать о бесконечно малых. Так что неформальной альтернативы ему нет, и, если пропустить этот этап обучения, все здание матанализа будет лишено твердого фундамента, а все навыки студента сведутся к непонятным по сути обычаям и пассам.

Так что остается вдохнуть и выдохнуть — и все же одним учить определение предела, а другим — его (по возможности доходчиво) преподавать.

Есть предел последовательности, есть функции. Аргумент функции может стремиться к некоторому числу слева, справа или с обеих сторон, а может — к ±оо (плюс-минус бесконечности). Значение — к конечному или бесконечному пределу. Если различать +<» и -» (а формулы их различают), мы получим только в случае функций 15 конкретных определений предела. Понятно, что заучить их без понимания — непосильный труд. Они во многом однотипны; надо усвоить их внутреннюю логику.

Сложность для студента представляют три квантора, всегда идущие в одном порядке:

… … … (для любого ... существует ... для любого)

Возникает естественная идея: а что если исходить не из содержания каждого отдельного квантора, а из самой идеи их чередования? Пусть их будет вообще много:

… …… …… …… …… …… …… …

На что это похоже?

Представим себе игру на двоих типа шахмат (чередование ходов), но для простоты — без возможности ничейного исхода. То есть неминуем мат белым (МБ) или мат черным (МЧ). Тогда нетрудно заметить, что из данной позиции мат черным в три хода записывается такой формулой (где б(к); ч(к) — соответственно к-е ходы белых и черных):

б(1) ч(1) б(2) ч(2) б(3) МЧ

(Опять по-русски: Есть такой первый ход белых, что на любой ответ черных найдется — естественно, не универсальный, а зависящий от этого ответа второй ход белых, такой, что на любой ответ черных третьим ходом — белые ставят мат.)

Мат же белым предполагает другое начало — с квантора всеобщности: как бы ни пошли белые, они обречены.

Наша игра «предел» предполагает три хода — белых, черных и белых, потом — сверку полученного результата и непременный выигрыш черных. Вот как выглядит сходимость последовательности к 5 (исходная формула):