Тот факт, что физические соотношения между какими–либо величинами можно выразить в виде векторных уравнений, говорит о том, что эти соотношения верны в любой системе координат. Вот почему понятие вектора очень удобно в физике.

Давайте теперь рассмотрим некоторые свойства векторов. В качестве примера «вектора» можно указать скорость, импульс, силу и ускорение. Часто бывает удобно изобразить вектор в виде стрелки, указывающей направление действия. Но почему же можно представить силу стрелкой? Да потому, что она преобразуется по тем же законам, что и «шаг в пространстве». Именно поэтому можно представить силу в виде чертежа, как если бы это изображалось перемещение, причем выберем такой масштаб, чтобы единица силы, например ньютон, соответствовала некоторой длине. Проделав такую процедуру однажды, мы всегда сможем изображать силы в виде отрезков, потому что уравнение типа

F=kr

(где k – некоторая постоянная) имеет вполне определенный смысл. Возможность представлять силу отрезком сулит нам большие выгоды, потому что, изобразив отрезок или стрелку, можно не заботиться о координатных осях. При этом, конечно, всегда можно быстро подсчитать, как изменяются составляющие вектора при поворотах осей, потому что дело сводится к простому геометрическому построению.

§ 5. Векторная алгебра

Теперь мы должны описать законы, или правила, 'регулирующие возможные сочетания различных векторов. Прежде всего мы изучим сумму двух векторов. Пусть векторы а и b задаются в какой–нибудь системе координат составляющими ах, ay, az и bx, by,bz. Предположим, что кому–то пришло в голову составить три числа ах+bx, ay+by, аг+bz. Получим ли мы в результате вектор? Вы можете сказать: «Разумеется, ведь это три числа, а три числа образуют вектор». Нет, вектор образуют не любые три числа! Чтобы задать вектор, мы должны связать заданные нам три числа с координатной системой так, чтобы при повороте координатных осей эти числа «поворачивались» относительно друг друга и «перемешивались» по описанным ранее правилам. Таким образом, мы должны выяснить, во что превращаются числа ах+bх, аy+by, az+bг, если известно, что при изменении системы координат числа ах, ау, az переходят в а'х, а'у, a'z, а bх, bу, bг переходят в b'x, b'y, b'г? Получим ли мы после поворота координатных осей числа а'х+b'x, a'y+b'y, a'z+b'z? Ответ, конечно, будет утвердительным, потому что наше основное уравнение (11:5) определяет так называемое линейное преобразование. Если мы применим это преобразование к ах и bх и вычислим ах+bx то окажется, что преобразованное ах+bх есть то же самое, что и ах+bх. «Складывая» векторы а и b по только что описанному правилу, мы получаем новый вектор c. Мы запишем это так:

с=а +b.

Вектор с обладает интересным свойством:

с=b+а;

это легко проверить, написав составляющие вектора с. Кроме того,

а+(b+с)=(а+b) + с.

Векторы можно складывать в любом порядке.

Каков геометрический смысл а+b? Как будет выглядеть вектор с, если мы, скажем, изобразим а и b с помощью стрелок? Ответ на этот вопрос дает фиг. 11.4.

Фиг. 11.4. Сложение векторов.

Мы видим, что прибавить составляющие вектора b к составляющим вектора а проще всего, приложив соответствующим образом прямоугольник, определяемый составляющими b, к такому же прямоугольнику, определяемому составляющими а. Поскольку а и b хорошо подогнаны к своим прямоугольникам, то это все равно, что поставить вектор b «ногами» на «голову» вектору а. Стрелка, соединяющая «ноги» вектора а и «голову» вектора b, и будет вектором с. Можно поступить иначе: поставить «ноги» а на «голову» b. Вспомнив геометрические свойства параллелограмма, можно убедиться в том, что мы снова получим тот же вектор с. Заметим, что, ставя векторы друг на друга, мы складываем их без помощи координатных осей.

Предположим, что мы умножили вектор а на число а. Что нужно понимать под таким произведением? Договоримся понимать под этим вектор с компонентами аах, аау, aaz. Докажите сами, что это действительно вектор.

Рассмотрим теперь вычитание векторов. Можно определить вычитание тем же способом, что и сложение, но вместо того, чтобы складывать, будем вычитать составляющие. Можно также определить вычитание как сложение с отрицательным вектором–b=(-1)b. Результат будет тот же.

Вычитание векторов показано на фиг. 11.5.

Фиг. 11,5. Вычитание векторов.

На этом чертеже изображено

d=а–b=а+(-b); заметим также, что, зная векторы а и b, разность а–b можно легко найти из эквивалентного соотношения а=b+d. Таким образом найти разность векторов даже легче, чем сумму: просто нужно провести вектор, соединяющий b и а, и вы получите а–b!

Перейдем теперь к скорости. Почему скорость есть вектор? Если координаты точки равны х, у, z, то скорость ее равна dx/dt, dy/dt, dz/dt. Вектор это или не вектор? Дифференцируя выражение (11.5), можно найти закон преобразования dx'ldt. Видно, что величины dx/dt, dy/dt преобразуются по тому же закону, что и х и у. Таким образом, скорость есть вектор. Выражение для скорости можно записать очень интересно:

v=dr/dt.

Постараемся нагляднее представить себе, что такое скорость и почему она вектор. Далеко ли продвинется частица за малое время ?t? Ответ: на ?r, т. е. если частица находится «здесь» в первое мгновение, а «там» – во второе, то векторная разность положений частицы равна вектору ?r=r2–r1. расположенному вдоль направления движения. Как это выглядит, показано на фиг. 11.6. Если разделить этот вектор на промежуток времени ?t = t2–t1, то мы получим вектор «средней скорости».