Шрифт:
Можно ли говорить об истинности или ложности утверждений из метаязыка? Можно, но лишь поднявшись на третью ступень лестницы и говоря на более высоком метаязыке, позволяющем высказывать утверждения об истинности или ложности утверждений всех языков более низких ступеней.
Каждая ступень лестницы является объектным языком по отношению к ступени, расположенной непосредственно над ней. Каждая ступень, за исключением самой нижней, является метаязыком по отношению к ступени, расположенной непосредственно под ней. Лестница простирается вверх сколь угодно далеко.
Примеры утверждений на языках первых четырех ступеней.
A. Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
B. Утверждение Аистинно.
C. Утверждение Вистинно.
D. Утверждение Систинно.
Язык на уровне Апозволяет формулировать теоремы о геометрических объектах. Геометрический текст, содержащий доказательства теорем, написан на метаязыке уровня В. Книги по теории доказательств написаны на языке уровня С. К счастью, математикам редко приходится подниматься выше уровня С.
Теоретическая нескончаемость, или бесконечность, лестницы в занимательной форме рассмотрена в статье Льюиса Кэрролла «Что черепаха сказала Ахиллу» [4]
Бесконечная иерархия, аналогичная лестнице метаязыков, позволяет избавиться от теоретико-множественных парадоксов. Ни одно множество не может быть членом самого себя или любого множества более низкого типа. Брадобрей, астролог, робот и каталог просто не существуют.
4
Кэрролл Л.История с узелками, — М.; Мир, 1973, с. 368–372.
У лестницы метаязыков Тарского существует теоретико-множественный аналог — теория типов Бертрана Рассела. Не вдаваясь в технические подробности, можно сказать, что эта теория, устанавливая среди множеств иерархию по типам, исключает высказывания о принадлежности или непринадлежности множества самому себе. Тем самым исключаются противоречивые множества. Они просто-напросто вычеркиваются из системы. Если вы неукоснительно следуете правилам теории типов, то у вас нет разумного способа определить эти множества, чреватые противоречиями. Ситуация, возникающая при этом в теории множеств, аналогична той, с которой мы сталкиваемся в семантике, когда утверждаем, что такие утверждения, как парадокс лжеца, просто «не являются утверждениями», поскольку не соответствуют правилам построения «законных» утверждений.
Не один год понадобился Бертрану Расселу, чтобы разработать теорию типов. Вот что он пишет в книге «Мое философское развитие»:
Закончив «Принципы математики», я предпринял решительную попытку найти решение парадоксов. Их существование я рассматривал почти как личный вызов и, если потребовалось бы, посвятил бы всю оставшуюся жизнь попыткам разрешить их. Однако по двум причинам такая приверженность идее избавления от парадоксов казалась мне нежелательной. Во-первых, вся проблема представлялась мне тривиальной… Во-вторых, сколько я ни пытался, мне не удавалось ни на шаг продвинуться в ее решении. Почти все 1903 и 1904 гг. ушли на борьбу с парадоксами, но без сколько-нибудь ощутимых признаков успеха.
Может ли снами видеть будущее в своем хрустальном шаре? Предсказание будущего приводит к необычному логическому парадоксу нового типа.
Однажды Свами поспорил со своей десятилетней дочерью Сью.
Сью.Ты большой обманщик, папа. На самом деле ты не можешь предсказывать будущего.
Свами.Нет, могу!
Сью.Нет, не можешь, и я могу доказать это.
5
Свами— наставник.
Сью написала несколько слов на листке бумаги, сложила его и подсунула под хрустальный шар.
Сью.Я описала некое событие, которое либо произойдет, либо не произойдет до 3 часов дня. Если ты сумеешь предсказать, произойдет ли это событие, то можешь не покупать машину, которую ты обещал подарить мне за успешное окончание школы.
Сью.Вот чистая карточка. Если ты считаешь, что событие произойдет, то напиши на ней ДА. Если, по-твоему, оно не произойдет, напиши на карточке НЕТ. Но если твое предсказание окажется неверным, то ты покупаешь мне машину сейчас, не дожидаясь, пока я окончу школу. Идет?
Свами. Идет!
Свами написал что-то на карточке. Ровно в 3 часе Сью извлекла листок бумаги из-под хрустального шара и, развернув, прочитала вслух то, что было написано на нем: «До 3 часов ты напишешь на карточке НЕТ».