{308}

ввести, как например, стремление, становление, повод к изменению. Но в таком случае требовалось бы показать, какое еще значение и ценность, т. е. какую связь и какое употребление для дальнейших математических целей имеет? помимо того·, для теории совершенно достаточного сухого определения, что оно есть не что иное, как полученная путем разложения бинома производная функция; об этом будет сказано во втором примечании. — Здесь же мы ближайшим образом дадим разбор той путаницы, которую вышеприведенное столь обычное в изложениях употребление представления о приближении внесло в понимание собственной, качественной определенности того отношения, в котором было ближайшим образом все дело.

Мы показали, что так называемые бесконечно малые разности выражают собою исчезание членов отношения как определенных количеств и что то, что после этого остается, есть их количественное отношение, исключительно лишь поскольку оно определено качественным образом; качественное отношение здесь настолько не теряется, что оно скорее есть именно то, что получается благодаря превращению конечных величин в бесконечные. В этом, как мы видели, состоит вся суть дела. — Так например, в последнем отношении исчезает определенные количества абсциссы и ординаты. Но члены этого отношения остаются по существу один — элементом ординаты, а другой — элементом абсциссы.

Так как здесь применяют обычный способ представления, состоящий в том, что одна ордината бесконечно приближается к другой, то одна ордината, раньше отличная от о законе непрерывности. — В какие формальные дефиниции при этом кроме того впадают, показывает остроумное общее изложение моим уважаемым коллегой проф. Дирксеном основных определений, употребляемых для вывода диференциального исчисления, изложение, которое он дает в связи с критикой некоторых новых сочинений по этой науке, помещенной в Jahrb. /. wissensch. Kritik, 1827, Nr. 153 и сл. Там на стр. 1251 дается даже такая дефиниция: «Непрерывная величина, континуум, есть всякая величина, которая мыслится нами находящейся в таком состоянии становления, при котором последнее совершается не скачкообразно, а путем непрерываемого движения вперед». Но ведь это тавтология, повторение того, что есть и самое definitum.

{309}

другой ординаты, яереходиг в последнюю, а раньше различная абсцисса переходит в другую абсциссу; но ордината по существу не переходит в абсциссу и абсцисса не переходит в ординату. Оставаясь и далее в рамках этого примера переменных величин, следует сказать, что элемент ординаты должен быть понимаем не как отличие одной ординаты от другой ординаты, а как отличие или качественное определение величины относительно элемента абсциссы; принцип одной переменной величины и принцип другой находятся во взаимном отношении между собой.

Различие, не будучи уже больше различием конечных величин, перестало быть многообразным внутри самого себя, оно сжалось в простую интенсивность, в определенность одного качественного момента отношения относительно другого.

Но эта суть дела затемняется тем обстоятельством, что то, что мы только что назвали элементом, например, ординаты, понимается затем как разность или приращение, в том смысле, что оно будто бы есть лишь различие между определенным количеством одной ординаты и определенным количеством другой. Предел здесь, следовательно, не имеет смысла отношения; он считается лишь тем последним значением, к которому другая величина того же рода постоянно приближается таким образом, что она может сколь угодно мало отличаться от него и что последнее отношение есть отношение равенства. Таким образом, бесконечно малая разность оказывается как бы неустойчивостью различия (das Schweben eines Unterschieds) одного определенного количества от другого и ее качественная природа, по которой dx есть по существу определение отношения не к х, а к dy, отступает в представлении на задний план. В диференциальном исчислении заставляют dx2 исчезнуть относительно dx, но еще больше исчезает dx относительно х, а это поистине означает: dx находится в отношении лишь % dy. — В таких изложениях геометры стараются преимущественно о том, чтобы сделать понятным приближение некоторой величины к ее пределу, и держаться того аспекта различия одного определенного количества от другого, в ко-

{310}

тором оно не есть различие и, однако, все еще есть различие. Но помимо всего прочего приближение есть само по себе ничего не говорящая и ничего не делающая понятным категория; уже dx оставил приближение позади себя, он ни близок ни более близо-к, и бесконечная близость сама есть лишь отрицание близости» и приближения.

Стало быть, поскольку вышло так, что приращения или бесконечно-малые разности рассматриваются лишь со стороны определенного количества, которое в них исчезает, и лишь как его предел, их понимают при этом как безотносительные моменты. Из этого вытекало бы не выдерживающее критики представление, будто в последнем отношении дозволительно приравнивать между собою, например, абсциссу с ординатой, или же синус, косинус, тангенс, sinus versus и что угодно еще. — Может казаться, что такое представление получает силу в том случав, когда дуга рассматривается как касательная; ибо и дуга, конечно, тоже несоизмерима с прямой линией и ее элемент имеет прежде всего другое качество, чем элемент прямой линии.

Может показаться еще более бессмысленным и недозволительным, чем смешение абсциссы, ординаты, sinus versus, косинуса и т. д. принимать круглые квадраты, принимать часть дуги, хотя бы и бесконечно малую, за кусочек касательной и, следовательно, трактовать ее как прямую линию. — Однако такую трактовку следует по существу отличать от вызвавшего порицание смешения; она имеет свое оправдание в том, что в том треугольнике, который имеет своими сторонами элемент некоторой дуги и· элемент ее абсциссы и ординаты, отношение остается тем же самым, как если бы элемент дуги был элементом прямой линии, касательной; углы, составляющие существенное отношение, т. е. то отношение, кото-рое сохраняется в этих элементах:, когда мы абстрагируемся от присущих им конечных величин, суть те же самые. — Можно выразиться об этом? таким образом, что прямые линии как бесконечно малые стали кривыми линиями, и отношение между ними при их бесконечности стало отношением между кривыми. Так как согласно дефиниции прямой линии она есть кратчайшее

{311}

расстояние «между двумя точками, то ее отличие от кривой линии основано на определении множества, на меньшем множестве различимого в этом расстоянии, что, стало быть, есть количественное определение. Но это определение в ней исчезает, когда мы принимаем ее за интенсивную величину, за бесконечный момент, за элемент; а вместе с тем исчезает и ее отличие от кривой линии, основанное исключительно только на различии определенного количества. — Следовательно, как бесконечные, прямая линия и дуга не сохраняют никакого количественного отношения друг к другу и тем самым на основании принятой дефиниции не имеют больше также и никакого качественного отличия друг от друга, а пер-вая переходит во вторую.