SM SN ≡ SMN (mod 9). (8.1.4)

Теоретическое доказательство этих правил является легкой задачей при использовании сравнений. Очевидно, что

1 ≡ 1, 10 ≡ 1, 102 ≡ 1, 103 ≡ 1… (mod 9); (8.1.5)

таким образом, из (8.1.1) и (8.1.2) мы делаем вывод, что

N ≡ SN (mod 9). (8.1.6)

Поэтому из правил сравнений, которые мы установили в § 3 главы 7, ясно, что

SN ± SM ≡ N ± М ≡ SN ± M,

SN • SM = N •M ≡ SN•M (mod 9).

Правило «выбрасывания девяток» чаще всего применяется к умножению. Возьмем в качестве примера числа

M = 3119, N = 3724 (8.1.7)

и их произведение

М • N = 11 614 156.

Это вычисление не может быть верным, так как если бы оно было верным, то мы имели бы, что

M ≡ SM ≡ 3 + 1 + 1 + 9 ≡ 5 (mod 9),

N ≡ SN ≡ 3 + 7 + 2 + 4 ≡ 7(mod 9)

и MN ≡ SMN ≡ 1 + 1 + 6 + 1 + 4 + 1 +5 + 6 ≡ 7 (mod 9).

Но 5 • 7 = 35 ≠ 7 (mod 9).

В действительности же это произведение равно MN = 11 615 156.

В средневековых школах ученики имели строгий наказ обязательно проводить проверку своих упражнений. Поэтому в рукописях, сохранившихся с тех времен, мы видим множество знаков, похожих на эмблему из скрещенных костей. Такой знак для нашего примера выглядит так, как на рис. 18.

Рис. 18.

Здесь числа 5 и 7, лежащие слева и справа, означают остатки чисел М и N (по модулю 9), а верхнее число 8 является остатком вычисленного произведения MN. Оно должно проверяться с помощью произведения остатков начальных чисел, записываемого в нижней части.

Здесь

5 • 7 = 35 ≡ 8 (mod 9).

Рис. 19.

Такая проверка «скрещенных костей» была совершенно обычной в ранних изданиях учебников арифметики (рис. 19), например, в английских учебниках семнадцатого и восемнадцатого веков. Конечно, существует возможность, что вычисления содержат ошибку, необнаруживаемую методом «выбрасывания девяток», но тогда мы знаем, что ошибка является «ошибкой по модулю 9».

Ясно, что и при другом основании системы счисления можно использовать простейшую проверку. Для числа

M = mnbn + mn– 1bn– 1 +… + m2b2 + m1b + m0,

записанного при основании b, как и в (8.1.5), мы имеем

1 ≡ 1, b ≡ 1, b2 ≡ 1… (mod (b — 1));

поэтому, как и раньше,

М ≡ SM = mn + mn– 1 +… + m2 + m1 + m0 (mod (b — 1)),

и проверочное правило остается прежним.

Это, по-видимому, совершенно тривиальное замечание применимо даже в нашей обычной десятичной системе. Мы упоминали в § 5 главы 7, что если мы разобьем цифры десятичного числа на группы по три, то тогда эта группировка может рассматриваться как представление числа при основании b = 103 = 1000. Аналогично, если группировать цифры в пары, то это соответствует представлению числа при основании b = 102 = 100.

Рис. 20.

Взяв числа 3119 и 3724 вновь в качестве примера и записав

M = 31 19, N = 37 24, MN = 11 61 51 56,

мы находим

M ≡ 31 + 19 = 50 (mod 99), N ≡ 37 + 24 = 61 (mod 99),

MN ≡ 11 +61+ 51+56 = 179 ≡ 80 (mod 99).

Здесь наша проверка «скрещенных костей» будет такой, как на рис. 20, потому что, как легко видеть, 50 • 61 ≡ 80 (mod 99).