Рис. 9.12. Окно вычисления характеристического полинома матрицы

Активизируя кнопку Solve for eigenvalues можно вычислить корни характеристического полинома. Окно с ними показано на рис. 9.13.

Рис. 9.13. Окно с вычисленными корнями характеристического полинома

Аналогичным образом организовано решение отмеченных задач линейной алгебры в интерактивном режиме. Важно, что при этом обеспечивается наглядный контроль вычислений на каждом шаге. Такая детальность вряд ли нужна инженеру или научному работнику при проведении вычислений, но она полезна студентам при освоении разделов линейной алгебры.

Подпакет Linear Algebra содержит несколько функций, дающих прекрасные возможности для визуализации различных понятий в области линейной алгебры и ее приложениях. Рассмотрим их применение в наглядных примерах.

На рис. 9.14 представлены примеры на применение функции VectorSumPlot, показывающие расположение векторов на плоскости (первый пример) и в пространстве, а также дающее построение результирующего вектора.

Рис. 9.14. Иллюстрация сложения векторов на плоскости и в пространстве

Действие функции вычисления кросс-произведения векторов и построение плоскости в которой находятся векторы демонстрирует рис. 9.15. Для визуализации этих понятий используются функции Cross Product Plot и PlanePlot.

Рис. 9.15. Визуализация кросс-произведения векторов и построение плоскости векторов

Довольно часто используется понятие о проекции вектора на прямую или на плоскость. Эти возможности реализует функция Projection Plot. Примеры ее применения представлены на рис. 9.16.

Рис. 9.16. Визуализация проекции вектора на прямую и на плоскость

Важное значение имеет визуализация решения систем линейных уравнений. Для этого используется функция LinearSystemPlot. Примеры ее применения для визуализации решения систем из двух и трех уравнений представлены на рис. 9.17.

Рис. 9.17. Визуализация решения систем из двух и трех линейных уравнений.

Здесь полезно обратить внимание на то, что графические функции визуализации используют необходимые для такой визуализации методы вычислений. Например, при визуализации решения систем линейных уравнений решаются сами уравнения. Если исполнить команду вывода хотя бы одного уровня информации, то можно получить вывод решений в числовой форме. Это и сделано на рис. 9.17.

Еще пара примеров, представленных на рис. 9.18 демонстрирует выполнение линейных преобразований двумерных и трехмерных матриц.

Рис. 9.18. Визуализация линейных преобразований

Рис. 9.19 и рис. 9.20 дают примеры визуализации собственных значений и векторов матрицы. Обеспечивается не только их наглядное графическое представление, но и вывод численных значений.

Рис. 9.19. Визуализация собственных значений и векторов двумерной матрицы (пример 1)

Рис. 9.20. Визуализация собственных значений и векторов двумерной матрицы (пример 2)

Аналогичный пример для трехмерной матрицы представлен на рис. 9.21. Любопытно, что график рис. 9.21 отличается от такового, построенного в системе Maple 9, что указывает на недоработку в одной из систем.

Рис. 9.21. Визуализация собственных значений и векторов трехмерной матрицы

Задача приближения облака точек данных отрезком прямых или линией с минимальной ошибкой (регрессия) обычно решается методом наименьших квадратов. Приближающая линия проходит в облаке точек так, чтобы алгебраическое значение площади всех квадратов со сторонам, равными отклонениям точек от линии приближения (регрессии) было равно нулю. Как правило, реализация метода наименьших квадратов основана на решении соответствующим образом подготовленной системы линейных уравнений. Функция LeastSquareFlot обеспечивает наглядную визуализацию результатов метода наименьших квадратов.

Рис. 9.22 показывает пример визуализации одномерной линейной регрессии для 6 точек. Выводятся данные регрессии (ее уравнение и погрешности — среднеквадратическая и максимальная), линия регрессии, исходные точки и квадраты, характеризующие площади отклонения.

Рис. 9.22. Визуализация одномерной линейной регрессии

На другом рисунке (рис. 9.23) представлен пример визуализации для полиномиальной регрессии (полином третьей степени). В данном случае функция регрессии существенно нелинейна.