Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании
вернуться

Дьяконов Владимир Павлович
Шрифт:

evalf(Int(f, list-of-ranges, …))

evalf(int(f, x=a..b))

Вместо многоточия могут использоваться различные опции, например, для задания метода вычислений. Могут использоваться комбинированные методы (аналитический с численным), ряд Maple-методов повышенной точности, методы предложенные группой NAG, метод Монте-Карло и др. Детали задания методов можно найти в справке. Ограничимся несколькими примерами вычисления определенных интегралов в численном виде (файл intnum):

> Int(х^2,х=1..2)=evalf(Int(х^2,х=1..2));

> Int(sin(x)/x,х=0..Pi)=evalf(int(sin(х)/х,х=0..Pi));

> Digits:=15;Int(sin(x)/x,x=0..Pi)=evalf(int(sin(x)/x, x=0..Pi, method = _NCrule));

Digits := 15

> expr := x*exp(-x):

Int(expr, x=1..infinity) = evalf[40](Int(expr, x=1..infinity, method=_Gquad));

В двух последних примерах показано вычисление интегралов с повышенной точностью в 15 и 40 верных знаков. Аналогичным образом могут вычисляться и кратные интегралы.

На время и возможность вычисления определенных интегралов большое значение оказывает выбранный метод вычислений. Нередко его стоит указывать явно. Ниже приведены примеры этого с оценкой времени интегрирования (файл intmet):

> restart: t:=time: int((1-ехр(-z^2))/(BesselJ(1, z)^2+ BesselY(1,z)^2)/z^3,z=0.0..infinity); time-t;

1.979213867
72.375

> t:=time: evalf(Int((1-ехр(-z^2))/(BesselJ(1, z)^2+ BesselY(1,z)^2)/z^3,z=0..infinity, Gquad)); time-t;

1.979213867
2.579

> t: =time: evalf(Int((1-exp(-z^2))/(BesselJ(1, z)^2+ BesselY(1,z)^)/z^3,z=0.. infinity,_CCquad)); time-t;

1.979213867
2.578

> t:=time: evalf(Int((1-ехр(-z^2))/(BesselJ(1,z)^2+ BesselY(1,z)^2)/z^3,z=0..infinity,_Sinc)); time-t;

1.979213867
3.876

> t:=time: evalf(Int((1-ехр(-z^2))/(BesselJ(1, z)^2+ BesselY(1,z)^2)z^3,z=0..infinity,_Dexp)); time-t;

1.979213867
1.531

В данном случае лучшим оказался метод _Dexp (адаптивный двойной экспоненциальный метода). Разумеется, для других интегралов более целесообразным может оказаться применение другого метода. Приведенные значения времен интегрирования могут заметно отличаться при реализации вычислений на разных ПК. Данные выше приведены для ПК с процессором Pentium 4 НТ с рабочей частотой 2,6 ГГц.

4.5. Вычисление пределов функций

4.5.1. Определение предела функции

Пределом функции f(х) называют то ее значение b, к которому функция неограниченно приближается в точке х=а (предел в точке) или слева или справа от нее. Пределы обозначается как:

Предел в точке a Предел слева от точки a Предел справа от точки а

При этом подразумевается, что функция f(x) определена на некотором промежутке, включающем точку х=а и во всех точках, близких к ней слева и справа. В последнем случае предел вычисляется для х=а-h или x=a+h при h стремящемся к нулю. Пределом может быть число, математическое выражение и положительная или отрицательная бесконечность. Последнее соответствует расширенному представлению о пределах.

4.5.2. Функции вычисления пределов в Maple 9.5

Для вычисления пределов функции f в точке х=а используются следующие функции:

limit(f,x=a);

limit(f,x=a,dir);

Limit(f,x=a);

Limit(f,x=a,dir);

Здесь f — алгебраическое выражение, z — имя переменной, dir — параметр, указывающий на направление поиска предела (left — слева, right — справа, real — в области вещественных значений, complex — в области комплексных значений). Значением а может быть бесконечность (как положительная, так и отрицательная).