Шрифт:
Ее график и попытки вычисления интеграла с такой подынтегральной функцией приведены на рис. 4.7.
Рис. 4.7. График «экспоненциально нарастающей синусоиды» и интеграл от нее с пределами от 0 до ∞
Обратите внимание на то, что здесь прямое вычисление интеграла к успеху не привело, хотя из графика функции видно, что каждая положительная полуволна в близкой к t=0 области явно больше по амплитуде, чем последующая отрицательная полуволна. Однако, в отличие от предыдущей функции, при больших значениях аргумента данная функция вырождается в обычную синусоиду с неизменной (и равной 1) амплитудой. Вот почему Maple честно отказывается вычислять не сходящийся интеграл от такой «коварной» функции.
4.4.6. Вычисление несобственных интегралов первого рода
Несобственными интегралами называют интегралы, у которых хотя бы один из пределов или подынтегральная функция устремляются в бесконечность. Соответственно различают несобственные интегралы первого и второго родов. Вычисления таких интегралов требует повышенного внимания и порой использования специальных методов. Из-за этого в старых реализациях Maple нередко такие интегралы просто не вычислялись, хотя на самом деле их решения (порою в виде специальных функций) существовали.
Последние версии Maple существенно продвинулись в направлении решения многих несобственных интегралов. Это видно из благополучного решения ряда таких несобственных интегралов первого рода, о которых спотыкались старые версии Maple и которые требуют специальных решений (файл intspec):
Для подавляющего большинства интегралов результат вычислений с применением функций Int и int оказывается абсолютно идентичным. Однако есть и исключения из этого правила. Например, следующий интеграл благополучно очень быстро вычисляется функцией Int с последующей evalf:
Однако в Maple 9 функция int вместо числа возвращает «страшное» выражение:
Увы, но функция evalf(%), примененная после него, к более простому выражению не приводит — она просто повторяет выражение в выходной строке. Maple 9.5 при вычислении этого интеграла просто «завис» и спустя минуту так и не выдал результат.
Построив график подынтегрального выражения (проделайте это сами) можно убедиться в том, он представляет собой сильно затухающую волну с узким высоким пиком в точке x=1. Попытаемся выполнить интегрирование в достаточно больших, но конечных пределах, где волна почти полностью затухает:
На сей раз результат получен (Maple 9.5 затратил на это около секунды). Он очень близок к полученному функцией Int, но все же имеет подозрительную мнимую часть с вроде бы нулевым значением. Он показывает, что не все здесь благополучно и что «пенки» в вычислении некоторых интегралов в Maple 9.5 все же возможны.