Стиль каждой возникающей математики зависит, следовательно, от того, в какой культуре она коренится и какие люди о ней размышляют. Потому что число предшествует рассудочному уму, а не наоборот. Числа суть творческие, а не творимые сущности. Ум может привести к научному раскрытию формальных возможностей, может применять их и достигать высочайшей зрелости в их применении; но изменить их он совершенно не в силах. В ранних формах орнаментики и архитектуры, в дорической колонне и готике соборов уже осуществлена идея эвклидовой геометрии и счисления бесконечно малых, еще за целые столетия до того, как родились первые математики соответствующих культур.

Глубокое внутреннее переживание, настоящее пробуждение собственного я, делающее ребенка высшим человеком, членом той культуры, к которой он принадлежит, отмечает начало числового и словесного понимания. Только с этого момента начинается сознание предметов, как чего-то во всех отношениях ограниченного и легко отличаемого, возникают точно определимые свойства, понятия, причинная необходимость, система окружающего мира, форма вселенной, законы

114

вселенной — «закон» по своей природе всегда ограничен,

неподвижен, подчинен числам, — и вдруг родится ощущение

того, что собственно означают числа, в формах ли пластического искусств или математического знания. Понятно, что они еще закрыты для первобытного человека и для ребенка и что — говоря биографически или исторически — решительная эпоха наступает только в тот момент, когда осознанный в его значении акт счисления, измерения, рисования и формирования породит совершенно новый мир, возникший из вновь вскрытой внутренней жизни. Это переживание, с проявлением которого возникает большой стиль, выделяет культуры и типы души как особые индивидуумы из примитивной человеческой стихии.

Как известно, Кант разделяет все наличие человеческого

знания на априорные (необходимые и имеющие общее значение) и на апостериорные (вытекающие из опыта) синтезы, и относит математическое познание к первым. Этим он, несомненно, дал отвлеченное выражение сильному внутреннему ощущению. Однако совершенно независимо от того, что между этими двумя областями не существует вполне определенной границы (чему слишком много примеров мы находим в современной высшей математике и механике), каковая определенность, однако, казалось бы, безусловно требуется самим происхождением принципа, сама априорность, одна из гениальнейших концентраций всей теории познания, является понятием в высшей степени трудным. Ничуть не утруждая себя доказательствами — каковые и сами по себе невозможны, — Кант делает предпосылку о неизменяемости формы всякой умственной деятельности и о ее идентичности для всех людей. Таким образом, одно обстоятельство, значение которого не может быть оценено слишком высоко, было им совершенно устранено из рассмотрения, главным образом вследствие того, что Кант при проверке своих мыслей считался только с умственным материалом и интеллектуальным обликом своего времени. Речь идет об изменяющейся степени обязательности этого "абсолютного принципа". Наряду с некоторыми факторами несомненно широкого значения, которые, по крайней мере по видимости, не зависят от принадлежности познающего к той или иной культуре или столетию, в основе всякого мышления лежит еще иная необходимость формы, которой человек подчинен как член вполне определенной, и только этой культуры. Это два совершенно различных вида априорного содержания, и нельзя дать никакого ответа, так как раз — решение лежит вне возможности познания, на вопрос, где граница между двумя вышеупомянутыми областями и существует

115

ли она вообще. До сих пор никто не решился признать, что считавшееся само собой понятным постоянство духовных форм есть только иллюзия и что в течение известной нам истории стиль познания изменялся несколько раз. Но здесь следует помнить, что consensus omnium не всегда свидетельствует об общей истине, но иной раз и об общей ошибке. Смутное сомнение, однако, всегда существовало, и уже из самого факта наличия разногласий всех мыслителей можно было сделать правильный вывод. Но открытием является установление того факта, что это разногласие проистекает не из несовершенства человеческого духа, не из того, что окончательное познание "еще не" достигнуто, что это не недостаток, а есть положенная судьбой историческая необходимость. Глубочайшее и последнее может быть открыто не из постоянства, а из различия и из органической периодичности этого различия. Сравнительная морфология форм познания — вот задача, подлежащая разрешению западных мыслителей.

Будь математика просто наукой, подобно астрономии и

минералогии, ее предмет было бы легко определить. Но по

отношению к ней никто не может и не мог этого сделать. Если мы, западноевропейцы, насильственно распространяем наши числовые понятия на то, что занимало математиков в Афинах или Багдаде, все же остается несомненным, что тема, цель и методы науки, носящей то же название, были там совсем иными. Не существует одной науки математики, есть многие математики. То, что мы называем историей математики, понимая под этим прогрессирующую проверку единственного и неизменного идеала, является в действительности, если только устранить обманчивую картину внешних явлений истории, множественностью законченных в себе, независимых процессов, постоянным нарождением новых, усвоением, переработкой и устранением чуждых миров форм, чисто органическими, ограниченными известной длительностью расцветом, зрелостью, увяданием и смертью. Не следует впадать в ошибку. Аисторический греческий дух создал свою математику из ничего, исторически настроенный дух Запада, обладавший уже заимствованной античной наукой, — усвоенной внешне, а не внутренне, — принужден был приобретать собственным путем кажущихся изменений и усовершенствований, в действительности же путем разрушения неадекватной ему эвклидовской. Одно было сделано Пифагором, другое Декартом. Оба акта в глубине идентичны.

116

Равным образом не подлежит сомнению сродство языка

форм математики и языка форм соседних больших искусств.

Целью всей математики является законченная в себе система

положений, являющая собой синтетический априорный распорядок всего неподвижного, протяженного, т. е. то же непрерывное искание синтеза, которое мы встречаем в проблеме формы каждого изобразительного искусства, в борьбе каждого отдельного художника в своей области за техническое мастерство. Чувство формы скульптора, художника и композитора по существу является математическим. В аналитической и начертательной геометрии XVII века вскрывается тот же распорядок, который вызывает к жизни, охватывает и стремится насквозь проникнуть в современную ей инструментальную музыку (фугированного стиля) и родственную ей масляную живопись, первую при помощи правил контрапункта, этой геометрии звукового пространства, вторую при помощи известной одному только Западу перспективы, этой почувствованной геометрии пространства картины. Это есть то, что Гёте называет идеей, образ которой непосредственно созерцается в чувственном, в то время как собственно наука не созерцает, но только наблюдает и разлагает. Но математика ведет дальше, чем наблюдение и разложение. В минуты возвышения она действует интуитивно, а не путем абстрагирования. Гёте принадлежит глубокое слово, что математик постольку является совершенным, поскольку он ощущает в себе красоту истины. Здесь мы чувствуем, как близка тайна феномена чисел тайне художественной формы, которая также имеет своей целью многозначительное отграничение, прекрасную меру, уравновешенное величие, строгие взаимоотношения, гармонию, короче говоря, совершенный распорядок чувственного. Таким образом, прирожденный математик становится в один ряд с великими мастерами фуги, резца и кисти, которые также стремятся одеть в символы, осуществить и сообщить другим тот великий распорядок всех вещей, который рядовой современник их культуры носит в себе, не умея в действительности им овладеть. Таким образом царство чисел становится интуитивным отображением мировой формы, наряду с царством звуков, линий и красок. Поэтому слово «творческое» в приложении к математике имеет большее значение, чем в приложении к собственным наукам. Ньютон, Гаусс, Риман были художественными натурами. Стоит только вспомнить как внезапно их осеняли их великие концепции. "Математик, — говорит старик Вейерштрас, — в котором вместе с тем нет частицы поэта, не может быть совершенным математиком".

117

Итак, математика — тоже искусство. У нее есть свои стили и периоды стилей. В противоположность мнению непосвященного или философа, поскольку последний судит как непосвященный, она по своей сущности не неизменна, но, как и всякое искусство, подвержена от эпохи к эпохе незаметным изменениям. Следовало бы при изображении развития больших искусств постоянно иметь в виду современную математику, что оказалось бы далеко не бесплодным. Подробности глубоких взаимоотношений между направлениями в теории музыки, начиная с Орландо Лассо, и фазами развития теории функции никогда не были предметом исследования, однако эстетика могла бы почерпнуть отсюда гораздо больше поучи тельного, чем из всякой «психологии». Все великие математики, начиная с Ферма, Паскаля и Декарта (1630 г.), быт трансцендентальными аналитиками, все же древние, начиная с Пифагора (540 г.) — зрительно-телесно мыслящими натурами. Нужно ли еще раз указывать на тесную связь этих дарований с начинающимся расцветом чистой инструментальной музыки в первом случае, и ионической мраморной скульптуры — во втором? Античная математика, вначале почта исключительно планиметрическая, в своем развитии от Пифагора до Архимеда, обнаруживает тенденцию к стереометрическому пониманию всего числимого. Этому соответствует тенденция плоской живописи аттическо-коринфского стиля к полной пластике через промежуточную стадию рельефа, наложенного на плоскость. Статуя возникла частью из фигурно-рельефообразно-обделанной колонны (Гера Херамия), частью из деревянных или бронзовых пластинок, служивших отделкой стены (Артемида Никандры). И дерево и порос обрабатывались при помощи резца, однако только ваяние из мрамора при помощи долота вполне отвечало художественному чувству создания тела. Соответствующий процесс наблюдается и на Западе. В то время, как так называемая геометрия превращается в анализ чистого пространства, из которого шаг за шагом устраняется все оптическое — как далеко, например, понятие координат у Декарта ушло вперед по сравнению с Ферма — одновременно и инструментальная музыка приобретает новые средства выражения. С 1520 г. изобретенная в Верхней Италии скрипка начинает заменять лютню. Фагот делается известным с 1525 г. В Германии в течение XVI и XVII столетий орган развился в покоряющий пространство инструмент. Монтеверди (1567–1643), положивший изобретением доминантсепт-аккорда начало собственной хроматики, имел в своем распоряжении первый настоящий оркестр, а в 1630 г. в лице Фрескобальди появляется