Внимательный читатель уже, должно быть, заметил, что математические главы этой книги развиваются по двум основным колеям. Главы 1 и 5 были целиком посвящены различным бесконечным рядам, приводящим к математическим объектам, которые Риман назвал дзета-функцией. А в главе 3, посвященной простым числам, отталкиваясь от заглавия работы Римана 1859 года, мы рассмотрели Теорему о распределении простых чисел (ТРПЧ). Эти два предмета — дзета-функция и простые числа, — очевидно, связны в силу того интереса, который к ним проявлял Риман. В самом деле, определенным образом связав одну концепцию с другой и повернув Золотой Ключ, Риман открыл целую область аналитической теории чисел. Но как он это сделал? Какова связь? Что именнопредставляет собой Золотой Ключ? В данной главе я намерен ответить на этот вопрос — предъявить вам Золотой Ключ. После этого мы начнем готовиться к повороту Золотого Ключа, рассмотрев улучшенный вариант ТРПЧ.

Начинается все с «решета Эратосфена». Золотой Ключ по существу представляет собой способ, которым Леонард Эйлер сумел выразить решето Эратосфена в терминах анализа.

Эратосфен из Кирены (в настоящее время — городок Шаххат в Ливии) был одним из библиотекарей великой александрийской библиотеки. Около 230 года до P.X. — примерно через 70 лет после Эвклида — он разработал свой знаменитый метод решета для нахождения простых чисел.

Работает этот метод следующим образом. Сначала выпишем все целые числа, начиная с 2. Разумеется, нельзя выписать их все, поэтому остановимся на сотне с небольшим.

Теперь, начиная с 2 и сохраняя при этом саму двойку в неприкосновенности, уберем каждое второе число после 2.

Первое выжившее число после двойки — это 3. Сохраняя теперь 3 в неприкосновенности, удалим каждое третье число после 3, если оно еще не удалено. Получим