Поражает не просто то, что иррациональностей бесконечно много, и не то, что и они тоже всюду плотны, но тот факт, что имеется строгий математический смысл в утверждении, что иррациональных чисел куда больше,чем рациональных. Это показал в 1874 году Георг Кантор. Число рациональных чисел бесконечно, и число иррациональных чисел тоже бесконечно, но вторая бесконечность больше первой. Как, черт возьми, все они умещаются на вещественной прямой? Как может столь непредставимо грандиозное количество иррациональных чисел втиснуться между рациональными, если те и так уже всюду плотны?

У нас здесь нет места, чтобы вдаваться в эти вещи. Мой совет — не думать о них слишком много. Это путь в безумие. (Действительно, Кантор закончил свои дни в лечебнице, хотя это и было в большей степени результатом врожденной предрасположенности к депрессии, усугубленной трудностями, с которыми его теории пробивались к признанию, нежели результатом слишком усердных размышлений о вещественной прямой. Его теории сейчас не подвергаются серьезным сомнениям.)

Но куда же нам теперь поместить комплексные числа? Вещественная прямая вся забита — и как забита! — рациональными и иррациональными числами. А ведь для каждого вещественного aимеется бесконечно много комплексных чисел вида a + bi,где bсвободно бегает себе вверх и вниз по вещественной прямой. Что же с ними делать?

Последнее замечание подсказывает ответ. Для каждого вещественного числа нам нужна прямая, а поскольку вещественных чисел бесконечно много, нам нужно бесконечно много таких прямых бок о бок друг с другом. Это означает, что нам требуется плоскость. Тогда как вещественные числа можно выстроить для парада вдоль прямой, для комплексных чисел требуется плоскость — которую, разумеется, называют «комплексной плоскостью». Каждое комплексное число изображается точкой где-то на этой плоскости.

Рисунок 11.2.Комплексная плоскость и точка zна ней (изображена точка -2,5 + 1,8 i); показаны ее модуль и фаза, а также сопряженное число.

Чаще всего комплексную плоскость рисуют так (рис. 11.2) что, вещественная прямая простирается с запада на восток. Под прямым углом к ней в направлении с юга на север проведена другая прямая, на которой живут все чисто мнимые числа: i, 2 i, 3 iи т.д. Чтобы добраться до числа a + bi,надо уйти на расстояние aна восток (на запад, если aотрицательно), а затем на расстояние bна север (на юг, если bотрицательно). Вещественная прямая и мнимая прямая (их чаще называют «вещественная ось» и «мнимая ось») пересекаются в нуле. Точки на вещественной оси имеют нулевую мнимую часть. Точки на мнимой оси имеют нулевую вещественную часть. Точка их пересечения — т.е. точка, расположенная на обеих осях, — имеет и вещественную, и мнимую части равными нулю. Это точка 0 + 0 i, т.е. попросту нуль.

Введем три новых профессиональных термина. Модулькомплексного числа — это расстояние по прямой от этого числа до нуля. Обозначается модуль как |z|, что произносится «модуль зет». По теореме Пифагора модуль комплексного числа a + biесть

. Это всегда положительное вещественное число или нуль. Фазакомплексного числа — это угол, составленный с положительной частью вещественной оси, измеряемый в радианах. (Один радиан равен 57,29577951308232… градуса; 180 градусов — это радиан.) Фазу по соглашению считают углом, лежащим между – (не включая) до (включая), а обозначается она как (z). [93] У положительных вещественных чисел фаза равна нулю, у отрицательных вещественных она равна – , у положительных мнимых равна /2, а у отрицательных мнимых фаза равна – /2.

И наконец, комплексным сопряжениемкомплексного числа называется его зеркальное отображение относительно вещественной оси. Комплексное сопряжение числа a + biесть a - bi. Обозначается оно как z', что произносится как «зет-с-чертой». {2} Если перемножить комплексное число с его сопряженным, то получится вещественное число: (a + bi)x(a - bi) = a 2 + b 2, что, как видно, есть квадрат модуля числа a+ bi. На этом и основан фокус, позволяющий делить комплексные числа. Используя введенные обозначения, можно записать zxz' = |z| 2, а фокус с делением выражается как z/w = (zxw')/|w| 2.

Модуль комплексного числа -2,5 + 1,8 i, показанного на рисунке 11.2 , равен 9,49, то есть около 3,080584, фаза составляет 2,517569 радиана (или, если вам так больше нравится, 144,246113 градуса), а сопряженное число, конечно, есть -2,5 - 1,8 i.

Чтобы продемонстрировать комплексную плоскость в действии, я чуть-чуть потренируюсь в анализе с комплексными числами. Рассмотрим бесконечный ряд из выражения (9.2) :

1/(1 - x) = 1 + x+ x 2+ x 3+ x 4+ x 5+ x 6+ … ( xлежит строго между -1 и 1).

Поскольку здесь не предпринимается никаких действий, кроме сложения, умножения и деления чисел, нет причин, по которым xнельзя было бы сделать комплексным числом. Работает ли эта формула для комплексных чисел? Да, при определенных условиях. Пусть, например, xравен 1/ 2 i. Тогда ряд сходится. Имеем