Запоминание промежуточных результатов - стандартный метод, позволяющий избегать повторных вычислений. Следует, однако, заметить, что в случае чисел Фибоначчи повторных вычислений можно избежать еще и применением другого алгоритма, а не только запоминанием промежуточных результатов.

Рис. 8. 2. Вычисление 6-го числа Фибоначчи процедурой фиб.

Рис. 8. 3. Вычисление 6-го числа Фибоначчи при помощи процедуры фиб2, которая запоминает предыдущие результаты. По сравнению с процедурой фиб здесь вычислений меньше (см. рис. 8.2).

Этот новый алгоритм позволяет создать программу более трудную для понимания, зато более эффективную. Идея состоит на этот раз не в том, чтобы определить N-e число Фибоначчи просто как сумму своих предшественников по последовательности, оставляя рекурсивным вызовам организовать вычисления "сверху вниз" вплоть до самых первых двух чисел. Вместо этого можно работать "снизу вверх": начать с первых двух чисел и продвигаться вперед, вычисляя члены последовательности один за другим. Остановиться нужно в тот момент, когда будет достигнуто N-e число. Большая часть работы в такой программе выполняется процедурой

фибвперед( М, N, F1, F2, F)

Здесь F1 и F2 - (М - 1)-е и М-е числа, а F - N-e число Фибоначчи. Рис. 8.4 помогает понять отношение фибвперед. В соответствии с этим рисунком фибвперед находит последовательность преобразований для достижения конечной конфигурации (в которой М = N) из некоторой заданной начальной конфигурации. При запуске фибвперед все его аргументы, кроме F, должны быть конкретизированы, а М должно быть меньше или равно N. Вот эта программа:

фиб3( N, F) :-

фибвперед( 2, N, 1, 1, F).

% Первые два числа Фиб. равны 1

фибвперед( М, N, F1, F2, F2) :-

М >= N. % N-e число достигнуто

фибвперед( M, N, F1, F2, F) :-

M < N, % N-e число еще не достигнуто

СледМ is М + 1,

СледF2 is F1 + F2,

фибвперед( СледМ, N, F2, СледF2, F).

Рис. 8. 4. Отношения в последовательности Фибоначчи. "Конфигурация" изображается

здесь в виде большого круга и определяется тремя параметрами: индексом М и двумя

последовательными числами f( M-1) и f( М).

Упражнения

8. 1. Все показанные ниже процедуры подсп1, подсп2 и подсп3 реализуют отношение взятия подсписка. Отношение подсп1 имеет в значительной мере процедурное определение, тогда как подсп2 и подсп3 написаны в декларативном стиле. Изучите поведение этих процедур на примерах нескольких списков, обращая внимание на эффективность работы. Две из них ведут себя одинаково и имеют одинаковую эффективность. Какие? Почему оставшаяся процедура менее эффективна?

подсп1( Спис, Подспис) :-

начало( Спис, Подспис).

подсп1( [ _ | Хвост], Подспис) :-

% Подспис - подсписок хвоста

подсп1( Хвост, Подспис).

начало( _, [ ]).

начало( [X | Спис1], [X | Спис2] ) :-

начало( Спис1, Спис2).

подсп2( Спис, Подспис) :-

конк( Спис1, Спис2, Спис),

конк( Спис3, Подспис, Cпис1).

подсп3( Спис, Подспис) :-

конк( Спис1, Спис2, Спис),

конк( Подспис, _, Спис2).

8. 2. Определите отношение

добавить_в_конец( Список, Элемент, НовыйСписок)