В математике итерация представляет собой повторяющееся применение одной и той же функции или формулы, когда данные, полученные на выходе каждого этапа, используются в качестве входящих данных для следующего этапа. Например, рассмотрите следующее итерированное уравнение:

Например:

Повторим процесс:

И так далее: каждый следующий отрезок становится вдвое короче предыдущего до тех пор, пока ваш карандаш не окажется слишком толстым, чтобы начертить очередной отрезок. Но и тогда итеративное уравнение может продолжаться. Так, вы смогли бы увидеть более маленькие отрезки под микроскопом.

В этом итерированном уравнении мы используем одномерный отрезок, а потому в результате у нас получаются просто все новые отрезки меньшей длины. Однако если применить итерацию к двумерному объекту, например к треугольнику, то в результате итерирования получится объект большой сложности.

Построение двумерной снежинки Коха начинается с простого равностороннего треугольника. Далее начинается итерирование, суть которого состоит в следующем: на каждой стороне треугольника строим новый равносторонний треугольник, периметр которого равен длине стороны, на которой он построен; применяя эту формулу снова и снова, мы будем добавлять на каждую вновь созданную сторону все меньшие и меньшие треугольнички.

Снежинка Коха — пример итерированной структуры, созданной на основе двумерного объекта. При итерировании трехмерных объектов результат получается еще более сложным.

Задумайтесь над следующим фактом: все виды животных на планете, от червей до кашалотов, представляют собой многомерные системы, состоящие, по сути, из итерированных клеточных структур. Эти сложные системы (организмы), а также среда, где они обитают, — хаотичны. Однако, когда мы применяем математическое моделирование, они становятся — вы готовы это услышать? — предсказуемыми!

Именно эту концепцию предсказуемого хаоса имел в виду Галилео Галилей, когда сказал: «Математика — это язык, на котором Бог написал Вселенную».

На примере снежинки Коха мы видим, как из такой простой геометрической формы, как равносторонний треугольник, мы можем получать все более сложные фигуры

На приведенной выше иллюстрации исходный треугольник А изображен светло-серым цветом. Результаты каждого нового итерирования изображены все более темными (фигуры Б, В и Г). Насколько сложные объекты позволяет создать этот процесс, видно на рисунке Д, где все треугольники слиты в одну фигуру. При сравнении простого треугольника, с которого все началось, с результатами каждого последующего применения нашей формулы, становится очевидно, что каждое итерирование значительно увеличивает сложность фигуры.

Итак, все, что нам требуется, — это выяснить, какие математические уравнения использовались при создании Вселенной. Тогда можно будет понять, как мы сюда попали и куда движемся. Поскольку мы пытаемся понять структуры окружающей среды и, в частности, то, как они соотносятся с биосферой, нам нужно обнаружить те математические формулы, с помощью которых Природа организовала в пространстве физические объекты.

Такая задача подразумевает использование геометрии, ибо по определению этот раздел математики особо занимается свойствами, мерами и взаимоотношениями структур в пространстве. Геометрия играет столь фундаментальную роль в организации Вселенной, что Платон еще задолго до Галилея заключил: «Геометрия существовала до мироздания».

Вплоть до 1975 года широкая публика была знакома только с принципами евклидовой геометрии, которая изложена в 13-томном древнегреческом труде Евклида «Начала», написанном около 300 года до нашей эры. Именно эту геометрию большинство из нас изучали в школах, когда рисовали в своих тетрадках кубы, шары и конусы. При помощи геометрии Евклида люди сумели описать движение небесных тел, построить величественные здания, разбить строго упорядоченные сады, сконструировать космические корабли и сложнейшее оружие.

Однако формулы, используемые геометрией Евклида, не применимы, когда дело доходит до Природы. Например, какое дерево вы сможете создать при помощи стандартных идеальных форм евклидовой геометрии? Вспомните-ка то дерево, которое вы рисовали в детском саду: круг, насаженный на продолговатый прямоугольник. Ваша воспитательница, несомненно, соглашалась, что на рисунке изображено именно дерево, но эта картинка описывала дерево не лучше, чем схематический портрет «точка-точка-запятая» описывает человека.