Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
вернуться

Ваховский Евгений Борисович
Шрифт:

Поскольку KC = 1/2 FC, а DO = 1/2 OB (ABC — правильный треугольник) и FC = OB (треугольники C1FC и В1ОВ равны), то KC = DO. Покажем, что KC || DO. B самом деле, так как OB AC, то и ВВ1 AC. Следовательно, CC1 AC, а значит, и KC AC. Итак, KC и DO параллельны, а фигура KCOD — параллелограмм. Теперь мы можем воспользоваться тем, что отрезок KM параллелен CO, а потому перпендикулярен к AB. Отсюда следует, что ЕМ — высота в треугольнике АВЕ.

Остаются простые вычисления:

Площадь треугольника ADB можно найти двумя способами: 1/2 DM · AB = 1/2 DВ · AD, т. е. bDM = b^23/4, откуда MD = b3/4. Теперь найдем ЕМ:

Ответ.

4.9. B диагональной плоскости ВВ1D1D (рис. P.4.9) проведем через точку F отрезок EG, параллельный ВD.

B другой диагональной плоскости AA1С1С проведем через точку F отрезок KL || АС1. B плоскости верхнего основания построим отрезок MN || В1D1 и проходящий через точку L. Точки K, G, N, M, E являются вершинами сечения, площадь которого мы должны вычислить. Это сечение — пятиугольник, разбивающийся на треугольник EKG и трапецию EGNM. Если KR — высота треугольника, а Q — точка пересечения KR и EG, то площадь пятиугольника равна

1/2 KQ · EG + 1/2 (EG + MN)QR.

Так как KL || AC1, то LC1 = 1/4 A1С1 и MN = 1/2 В1D1 = 1/2 EG. B свою очередь

 Поэтому

Чтобы вычислить отрезки KQ и QR, спроецируем KR на плоскость основания. Точка Q спроецируется в P, а точка R — в H. Обозначим через S и T проекции точек K и Q на отрезки QP и RH соответственно.

По теореме о трех перпендикулярах АР BD. Сравнивая площадь треугольника ADB, получим АР · BD = ab, а так как

 то

Из подобия треугольников легко получим

AK = 1/4 с, RT = 1/4 с, QS = 1/2 с.

Поскольку MN = 1/2 В1D1, то QR = 1/2 KQ. Из треугольника KQS находим

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры:

S = 1/2 KQ · EG + 1/2 · 3/2EG · 1/2 KQ = 7/8EG · KQ.

Ответ.

4.10. Чтобы построить тень куба, достаточно построить тень, отбрасываемую верхним основанием. По условию источник света расположен на высоте 2h. Из подобия треугольников, получающихся при построении тени, следует, что тенью, отбрасываемой верхним основанием куба, будет квадрат A2В2С2D2 (см. рис. P.4.10; также рис. 1.4.10 на с. 132).

Каждая сторона этого квадрата параллельна соответствующей стороне основания куба и равна 2h. Отрезок OO2, соединяющий центры квадратов ABCD и A2В2С2D2, при вращении источника света не изменяется и равен R. Чтобы получить тень куба, нужно на рис. P.4.10, а построить «внешние» отрезки, соединяющие соответственные вершины квадрата A1В2С2D2 с вершинами нижнего основания куба.