Теперь ясно, что проекция точки E на плоскость нижнего основания куба не может выйти из квадрата А2В2С2D2 (рис. P.5.6, в).

Итак, искомое геометрическое место точек расположено в горизонтальном сечении куба, проходящем через его центр. Это — часть окружности с центром в центре куба, не выходящая за пределы квадрата, проецирующегося в А2В2С2D2.

6.1. Имеем p^2 - 1 = (p– 1)(p + 1), а p– 1, p, p + 1 - три последовательных числа, из которых p > 3 простое. Следовательно, p– 1 и p + 1 — два последовательных четных числа, т. е. одно из них обязательно делится на четыре, а произведение делится на восемь. Известно, что из трех последовательных целых чисел одно делится на три. Но p — простое, следовательно, на три делится либо p– 1, либо p + 1. Мы доказали, что p^2 - 1 делится на 8 · 3 = 24.

6.2. Способ 1. Предположим, что n^3 + 2n делится на 3 при n = k. (Если n = 1, то это очевидно.) Тогда при n = k + 1 получим

(k + 1)^3 + 2(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + (2k + 2) = (k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3.

Так как k^3 + 2k делится на 3, то и (k + 1)^3 + 2(k + 1) тоже делится на 3. B силу принципа индукции утверждение доказано.

Способ 2. Так как n^3 + 2n = n(n^2 + 2), то при n = 3k делимость на 3 очевидна. Если же n = 3k ± 1, то n^2 + 2 = (3k ± 1)^2 + 2 = 9k^2 ± 6k + 3 и также делится на 3.

6.3. Разложим данное число на множители двумя способами:

3105 + 4105 = (35)21 + (45)21 = 24321 + 102421 = (243 + 1024)(24320– ... + 102420) = 181 · 7(24320– ... + 102420);

3105 + 4105 = (37)15 + (47)15 = 218715 + 16 38415 = (2187 + 16 384)(218714– ... + 16 38414) = 18 571(218714– ... + 16 38414) = 49 · 379(218714– ... + 16 38414).

Таким образом, данное число делится на 49 и на 181.

6.4. Множитель 2 содержится не менее одного раза во всех четных числах, не менее двух раз во всех числах, делящихся на 4, не менее трех раз в числах, делящихся на 8, и т. д. Поэтому четные числа мы должны сосчитать отдельно, прибавить к ним количество чисел, делящихся на 4, к ним прибавить количество чисел, делящихся на 8, и т. д. B результате получим

250 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 494.

B этой сумме каждое следующее слагаемое получено из предыдущего как целая часть от деления его на два.

Ответ. 494.

6.5. Если умножить данное число на 10, то его свойство быть кратным 81 не изменится. Получим число

Сумма цифр этого числа делится на 9. Разобьем его на 9 одинаковых секций

и будем делить на 9. Так как сумма цифр в каждой секции равна 9, то каждая секция делится на 9. Обозначим частное от деления одной секции на 9 через А. B результате деления на 9 всего числа получим частное

Сумма цифр числа, стоящего в скобках, равна 9. Следовательно, полученное частное делится на 9, а данное число — на 81.

6.6. Дополним n4 + 4 до полного квадрата:

n4 + 4n^2 + 4 - 4n^2 = (n^2 + 2)^2 - 4n^2 = (n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2).