Шрифт:
[c.166]
где а не исчезает при отрицательных , это значит, что мы не имеем больше истинного оператора для f(t), определяемого однозначно прошлым этой функции. Такое может встретиться в реальных физических ситуациях. Например, динамическая система без входа может прийти в постоянные колебания или даже в колебания, нарастающие до бесконечности, с неопределенной амплитудой. В этом случае будущее системы не определяется ее прошлым, и мы, наверное, можем найти формализм, в котором бы использовался оператор, зависящий от будущего.
Операция, посредством которой получено выражение (4.02) из f(t), имеет еще два существенных свойства: 1) она не зависит от сдвига начального момента и 2) она линейна. Первое свойство выражается утверждением, что если
то
Второе выражается утверждением, что если
то
Можно показать, что в некотором подходящем смысле всякий оператор для прошлого функции f(t), линейный и инвариантный относительно сдвига начального момента, имеет вид (4.02) или является пределом последовательности операторов этого вида. Например, f’(t) есть результат применения оператора с такими свойствами к f(t), и потому [c.167]
где
Как мы уже видели, функции еzt составляют особенно интересное семейство с точки зрения оператора (4.02), поскольку
и оператор задержки становится просто множителем, зависящим от z. Оператор (4.02) переходит тогда в
и также оказывается оператором умножения, зависящим только от z. Выражение
называется представлением оператора (4.02) в виде функции частоты. Если z — комплексная величина х+iy, где х и y — действительные числа, то (4.12) переходит в
Отсюда следует ввиду известного неравенства Шварца для интегралов, что если y>0 и
то [c.168]
Это значит, что А(х+iу) — ограниченная голоморфная функция комплексной переменной в каждой полуплоскости x>=>0, а функция A(iy) представляет в некотором весьма определенном смысле граничные значения этой функции.
Положим
где u и v — действительные числа. Тогда x+iy определится как функция (не обязательно однозначная) от u+iv. Это функция аналитическая, хотя и мероморфная, за исключением точек u+iv, соответствующих точкам z=x+– iy, где А(z)/z=0. Граница х=0 перейдет в кривую с параметрическим уравнением
Эта новая кривая может пересекать саму себя любое число раз, но в общем случае она будет делить плоскость на две области. Рассмотрим кривую (4.17), вычерченную в направлении возрастания y от — до +. Если идти от нее вправо по непрерывной линии, не пересекающей снова кривую (4.17), можно попасть в те или иные точки плоскости. Точки, не входящие в это множество и не лежащие на кривой (4.17), мы будем называть внешними точками. Часть кривой (4.17), содержащую предельные точки внешних точек, назовем эффективной границей. Все остальные точки будут именоваться внутренними точками. На нашем чертеже с границами, проведенными в направлении стрелок (рис. 1), внутренние точки заштрихованы, а эффективная граница выделена жирной линией.