В самом общем виде формулу МНК можно представить следующим образом:

Для отыскания параметров а и b, при которых функция j(a, b) принимает минимальное значение, необходимо найти частные производные по каждому из параметров этой функции а и b и приравнять их к нулю. Если e2 обозначить через S, то в результате мы получим систему нормальных уравнений МНК для прямой:

Преобразовав систему уравнений (2.1.2), получим:

Решив систему уравнений (2.1.3) методом последовательного исключения переменных, найдем следующие оценки параметров:

С помощью оцененного таким образом уравнения регрессии можно предсказать, как в среднем изменится признак Y в результате роста факторов Х1, Х2,…..Xt, (или одного фактора X).

В зависимости от того, какая математическая функция используется для прогнозирования результирующей переменной У, различают линейную и нелинейную регрессию. При этом в основе линейной регрессии лежит уравнение линейного тренда, а в основе нелинейной регрессии — целое семейство уравнений нелинейных трендов (полиномиальный второй, третьей и прочих степеней, степенной, экспоненциальный и др.). В случае если результативный признак Y зависит от одного фактора Z, то такое уравнение регрессии называется парным, а если Y зависит от нескольких факторов Х1, Х2,…. Xt, — то уравнением множественной регрессии.

Практически в любом учебнике по общей теории статистики и по эконометрике можно более подробно познакомиться со спецификой уравнений регрессии [2] . Существуют формулы, по которым можно самостоятельно найти параметры как уравнения линейной регрессии, так и различных видов уравнений нелинейной регрессии. Однако с внедрением в широкую практику компьютеров и соответствующих компьютерных программ уже нет необходимости оценивать параметры уравнения регрессии вручную, тем более что это процесс довольно трудоемкий.

Рассмотрим алгоритм решения уравнения регрессии с применением соответствующих вычислительных программ. При этом работу с уравнением регрессии в компьютерных программах можно разделить на три этапа.

На первом, подготовительном этапе необходимо определиться с набором факторов, которые необходимо включить в уравнение регрессии, а также с его аналитической формой, что в ряде случаев требует предварительной обработки данных. Например, в случае выбора степенного уравнения регрессии вместо исходных данных нужно взять их логарифмы.

Второй этап состоит из собственно решения уравнения регрессии и нахождения его параметров.

На третьем этапе проводится оценка и тестирование общего качества уравнения регрессии, проверка статистической значимости каждого из коэффициентов регрессии, определяются их доверительные интервалы, а также принимается окончательное решение об адекватности или неадекватности полученного уравнения регрессии.

Как известно, одним из наиболее распространенных способов определения тренда в динамике курса валюты является построение его зависимости от фактора времени Т. Так, если в качестве зависимой переменной Умы возьмем ежемесячный курс доллара, а в качестве независимой переменной Т — время (в данном случае порядковые номера месяцев начиная с июня 1992 г.), то у нас получится следующее уравнение парной линейной регрессии:

где а — свободный член уравнения регрессии;

b — линейный коэффициент регрессии, показывающий, как изменение величины независимой переменной (фактора) Т в среднем способствует изменению зависимой переменной (результативного признака) Y,

Трасч — расчетное значение результативного признака, вычисляемое по формуле 2.2.

Минимизируем сумму квадратов отклонений (остатков) Yфакт от Ypасч, т. е. фактических значений курса доллара от его расчетных значений. В результате формулу МНК (2.1.1) для линейной регрессии можно представить в следующем виде:

Уравнение 2.3, в принципе, можно решить самостоятельно, если найти его параметры согласно формулам (2.1.4) и (2.1.5), но в целях ускорения этого процесса будем его решать с помощью Пакета анализа Excel. Кстати, желающие лучше усвоить суть МНК могут сначала самостоятельно в «ручном режиме» решить уравнение регрессии, а затем сверить свои результаты с теми, что мы получим в Excel.

Чтобы подготовить исходные данные к решению уравнения регрессии, разместим в Excel два столбца исходных данных. В первом столбце, который озаглавим Time, поместим порядковые номера месяцев, начиная с июня 1992 г. (с номером 1) и кончая апрелем 2010 г. (с номером 215). Во втором столбце, который озаглавим USDollar, поместим данные по курсу доллара на конец месяца, начиная с июня 1992 г. и заканчивая апрелем 2010 г. [3] Таким образом, столбец Time представляет собой независимую переменную, которая в формуле (2.2) обозначена символом Т, а столбец USDollar является зависимой переменной Yфакt. Далее переходим к решению уравнения регрессии в Пакете анализа Excel согласно алгоритму действий № 3.