Постулат 1. Если а и Ь – различные элементы класса К, и < – некоторое отношение, то а < b или Ь < а.

Постулат 2. Если а < Ь, то а и Ь различны.

Постулат 3. Если а < Ь, то Ь < с, тогда а < с [134] .

2. Покажите, что набор операций (сложения, умножения, деления и вычитания) над целыми числами является изоморфным набору операций над дробями.

3. Обсудите отношение алгебры к аналитической геометрии в свете вопроса об изоморфизме.

4. Докажите, что аристотелевский принцип dictum de omni et nullo для категорического силлогизма является эквивалентным пяти аксиомам обоснованности, сформулированным в § 3 главы IV.

5. Покажите, что аксиома I для категорического силлогизма (средний термин должен быть распределен хотя бы единожды) является эквивалентной аксиоме 2 (ни один термин не может быть распределенным в заключении, если он не распределен в посылках).

6. «Напишите на одной карточке любое нечетное число, например 35, а на другой – любое четное, например 46. Попросите, чтобы кто-то дал одну карточку А, а другую – Б, но при этом так, чтобы вы не знали, у кого из них какая карточка. Ваша задача сообщить А о том, какое число написано у него на карточке. Скажите, чтобы А умножил свое число на любое четное, а В свое – на любое нечетное. Попросите А и В сложить получившиеся у них в результате умножения числа и назвать вам получившуюся сумму. Если сумма – четная, то у А изначально на карточке было нечетное число, если сумма – нечетная, то у А изначально было четное число» [135] . Докажите, что данный результат будет всегда сохраняться.

7. Покажите, что невозможно разложить целое число на множители, являющиеся простыми числами, более чем одним способом.

8. Что такое аксиома?

9. Что имеется в виду, когда утверждается, что суждение является самоочевидным?

10. Какого рода вопросы может задавать и разрешать логика относительно суждений?

11. Докажите с помощью математической индукции:

12. Прочитайте главы 6 и 7 «Введения в математику» Уайтхеда. Обсудите способы, которыми отличаются друг от друга целые, рациональные, действительные и мнимые числа.

Для дальнейшего изучения:

Younq J. W. Fundamental Concepts of Algebra and Geometry.

Chaps. II, III, IV, V.

Carmichael R. D. The Logic of Discovery. Chaps. II, III, IV, V, VI. Whitehead A. N. Introduction to Mathematics.

Jourdain R E. B. The Nature of Mathematics.

Russel B. Mysticism and Logic. Chaps. IV, V.

1. Какова вероятность того, что монета упадет вверх решкой три раза подряд, если вероятность выпадения монеты какой-либо из двух сторон одинакова?

2. Какова вероятность выпадения орла три раза при пяти бросках монеты?

3. В кошельке находится 2 монеты по двадцать пять центов каждая, 3 – по десять, 6 – по пять центов. Наугад извлекаются две монеты. Какова вероятность того, что этими монетами будут:

a. Две монеты по двадцать пять центов?

b. Одна по десять и одна по пять?

4. Вероятность того, что А умрет в течение десяти лет, равна 9/100; того, что В, – 7/100; того, что С, – 11/100.

a. Какова вероятность того, что А проживет еще 10 лет?

b. Какова вероятность того, что А и В вместе проживут еще 10 лет?

c. Какова вероятность того, что по меньшей мере один из троих проживет еще 10 лет?

5. Если 7 человек сядут за круглый стол в случайном порядке, какова вероятность того, что 2 определенных человека будут сидеть рядом? Какова вероятность того, что рядом будут сидеть три заранее определенных человека?

6. Вероятность выпадения орла при броске монеты равняется 1/2, шестерки при броске кости – 1/6, а извлечения белого шара из урны – 3/5. При условии, что данные события независимы, какова вероятность того, что:

a. Произойдет одно, и только одно, из этих событий?

b. Произойдет два из этих событий, и не более?

c. Произойдет по меньшей мере 1 событие?

d. Произойдет по меньшей мере 2 события?

e. Произойдет не более 1 события?

f. Произойдет не более 2 событий?

7. В одной из двух на вид схожих коробок содержится 4 ручки и 2 карандаша. В другой находится 5 ручек и 3 карандаша. Наугад берется одна из коробок, и один предмет содержимого извлекается. Какова вероятность того, что это будет ручка? Если содержимое двух коробок находилось бы в одном мешке, какова вероятность того, что извлеченный наугад предмет оказался бы ручкой?

8. Проанализируйте следующий аргумент:

«Известный нам мир содержит ограниченное количество добра, которого, несмотря на ограниченность, гораздо больше, чем требуется в чисто механистической системе.

Если бы Вселенная целиком состояла бы из громадного количества элементарных сущностей, частиц материи, электричества, импульсов энергии излучения, которые бы сохранялись, но при этом бы отталкивали и притягивали друг друга в приблизительном согласии физических законов, то нам следовало бы ожидать, что на определенном этапе они бы склеивались в объединенные структуры, которые, в свою очередь, хоть и не так часто, но все же могли бы сочетаться и формировать еще более сложные структуры и т. д. Однако вероятность того, чтобы такие более сложные совокупности сочетались только случайным образом, сама по себе была бы бесконечно мала. Более того, также существовала бы устойчивая тенденция распада и рассеивания подобных структур сразу после их формирования вместе с потерей материи и энергии, концентрировавшейся в них.