( р q )' ( q ' р ')' ( р ' q )' ( p . q ').

Иными словами, суждением, противоречащим суждению «если р , то q », будет « р и q '»; суждением, противоречащим суждению « р или q », будет « р ' и q '»; суждением, противоречащим суждению «неверно, что вместе р и q », будет « р и q ».

Читателю следует обратить внимание на эквивалентность ( р ' q )' ( р . q '). Данное отношение является абсолютно общим, и совершенно неважно, какие суждения мы подставим вместо символов. Поэтому подставим « r » вместо « р '». Тогда вместо « p » будет подставлен символ « r '». И тогда мы получим:

( r q )' ( r '. q ').

Данное отношение известно как теорема де Моргана. В ней утверждается, что отрицанием дизъюнкции (или суждением, противоречащим дизъюнкции) является конъюнкция, в которой конъюнкты противоречат соответствующим им дизъюнктам. В иной форме данная теорема выглядит следующим образом:

( р . r )' ( p ' r ').

Здесь утверждается, что отрицанием конъюнкции является дизъюнкция, в которой дизъюнкты противоречат соответствующим конъюнктам.

Мы удостоверились в том, что специально введенные символы существенным образом способствуют более ясному выражению логической структуры суждений, которая скрывается за громоздкостью обыденного языка. Вследствие этого читатель, несомненно, согласится с тем, что символы не препятствуют, а скорее способствуют пониманию. Обобщающая сила современной логики, равно как и современной математики, возможна во многом благодаря адекватности символической записи, принятой в этих дисциплинах.

В качестве проверки усвоения этой записи предложим читателю привести противоречащее суждение для суждения «некоторые люди – бедные, но честные». Следует понимать, что сила слова «но» в данном суждении заключается в том, что бедные чаще всего являются бесчестными, хотя случается и так, что некоторые из них являются честными. Следовательно, явным значением здесь будет «некоторые люди – бедные и честные, и некоторые люди – бедные и бесчестные». Из этого следует, что суждение «некоторые люди не бедные и честные» не противоречит исходному утверждению, равно как не противоречит ему и суждение «все люди не являются одновременно бедными и честными или все люди не являются одновременно бедными и бесчестными». Сходным образом суждение «Джон не вернулся вчера домой на велосипеде» не будет противоречить суждению «Джон вчера вернулся домой на велосипеде». Этому суждению скорее будет противоречить суждение «Джон не вернулся домой, или Джон не вернулся домой вчера, или Джон не вернулся домой на велосипеде».

Данное отношение было проиллюстрировано в традиционном квадрате противопоставлений. Однако можно найти примеры подобного противопоставления и помимо тех, что были указаны в логическом квадрате. Рассмотрим следующие суждения: «мой рост – семь футов» и «мой рост – шесть футов»; «Сократ был мудрейшим из греков» и «Платон был мудрейшим из греков»; «Колумб был первым европейцем, открывшим Америку» и «Лиф Эриксон был первым европейцем, открывшим Америку». Все они представляют пару противоположных суждений, выходящих за рамки рассмотрения традиционного подхода. Очевидно, что общие суждения могут иметь больше чем одно противоположное суждение.

Какое суждение будет противоположным суждению «книга была украдена, или я ее переложил»? Одним из противоположных суждений будет «книга не была украдена, и я ее не переложил, и мой брат ее не одалживал». Эти два сложных суждения могут быть вместе ложными, например, в том случае, если суждение «мой брат одолжил ее» истинно. Вообще нижеприведенная символическая запись представляет пару противоположных сложных суждений:

( р q )

и

( р ' . q ' . r ),

где р, q и r могут быть любыми суждениями.

Из приведенных примеров должно быть понятно, что два суждения могут быть несовместимыми друг с другом, даже если ни одно из них не является истинным. Это простое обстоятельство зачастую упускалось, что приводило к величайшим разногласиям в истории человеческой мысли. Жаркие споры между идеалистами и реалистами, между революционерами и консерваторами, между эволюционистами и фундаменталистами, теистами и деистами велись не только на основании предположения о том, что соответствующие взгляды исключают друг друга, но и на основании предположения о том, что опровержение одного из них будет означать подтверждение истинности другого. Ирония, присущая истории, заключается, однако, в том, что эти знаменитые противопоставления сегодня не рассматриваются с точки зрения, согласно которой если один подход ложен, то другой истинен.

Помимо суждений, рассмотренных в традиционном подходе, есть и другие, также представляющие субконтрарное противопоставление. Примерами таких суждений являются следующие: «эта книга содержит страницу с опечаткой» и «эта книга содержит страницу без опечатки»; «водород не является самым легким элементом» и «гелий не является самым легким элементом»; «Сан-Марино не является самым маленьким государством Европы» и «Андорра не является самым маленьким государством Европы». Суждения в каждой из приведенных пар не могут вместе быть ложными, но могут вместе быть истинными.