Запаздывание представляет собой особый, упрощенный вид представления об уровнях. Любой из уровней системы необходим для того, чтобы темп входящего потока мог в определенных пределах отличаться от темпа потока на выходе. При формулировке общего понятия уровня не было сделано ограничений в отношении факторов, которые могут воздействовать на исходящий поток. Например, на исходящий поток могут влиять одновременно и уровень запасов и уровень невыполненных заказов. Запаздывание же понимается здесь как особый класс уровней, когда исходящий поток определяется только уровнем, содержащимся внутри запаздывания (а также определенными константами). Например, транспортная система может быть часто адекватно представлена просто в виде запаздывания. Тогда уровень товаров внутри транспортной системы является единственной переменной, а константа характеризует среднее запаздывание. Для определения меняющихся взаимосвязей между этим уровнем и темпом на выходе может быть применен комплекс специальных расчетов. Запаздывания во времени в материальном или информационном потоке можно отобразить с помощью комбинации уравнений уровней и темпов, уже рассмотренных в главах 5 и 6. В связи с этим запаздывания изображаются в виде «пакетов», состоящих из комбинации уравнений тех темпов и уровней, которые характеризуют рассматриваемый канал потока. Они видоизменяют временные зависимости между заданным потоком на входе и потоком на выходе, на величину которого влияет запаздывание.

8. 2. Характеристики запаздываний

Две характеристики запаздывания представляют очевидный интерес. Одна — длительность времени, выражающая среднее значение запаздывания D. Она полностью определяет «установившееся» запаздывание, при котором темпы потока на входе и выходе и уровень между ними постоянны. При этих условиях темпы входящего и исходящего потоков должны быть равны между собой. При установившихся условиях темп потока, умноженный на среднюю величину запаздывания, дает количество, находящееся в запаздывании.

Вторая характеристика запаздывания описывает его «неустановившуюся реакцию», которая показывает, как динамика исходящего потока связана с динамикой входящего потока, когда темп последнего меняется во времени.

Различные запаздывания могут иметь одинаковую среднюю величину запаздывания D и различные неустановившиеся реакции на изменения в темпе входящего потока. Мы должны очень внимательно подходить к выбору неустановившейся реакции запаздывания, которую мы собираемся использовать в модели. Если при выборе неустановившейся реакции допущена грубая ошибка, это может оказать существенное влияние на качественное поведение динамической модели.

8. 3. Показательные запаздывания

Запаздывания в канале потока внутри математической модели можно определить с помощью функций различного вида. Здесь мы будем рассматривать только один класс функций запаздываний — показательные, которые просты по форме и достаточно полно отражают обычный уровень нашего понимания отображаемых реальных систем. Однако при необходимости для этой цели можно использовать и другие виды функций.

Показательное запаздывание первого порядка (рис. 8–1 а) состоит из уровня (который поглощает разность темпов входящего и исходящего потоков) и темпа исходящего потока, зависящего от величин уровня и среднего запаздывания (константы); темп входящего потока определяется другими частями системы.

Рис. 8–1. Показательное запаздывание первого порядка

Темп потока на выходе в соответствии с определением данного класса запаздываний равен уровню, деленному на среднее запаздывание:

8–1, R

где

OUT — темп потока на выходе (единицы/время);

LEV — уровень, находящийся в запаздывании (единицы);

DEL — постоянная запаздывания, представляющая среднее время, необходимое для преодоления запаздывания.

Уравнение 8–1 является уравнением темпа и определяет так называемое «неявное» решение[42], поскольку оно принимается не по указанию руководителя, а вытекает из существующего в данный момент состояния системы, отображаемого переменным уровнем LEV.

Представление запаздывания неполно до тех пор, пока отсутствует уравнение для определения перемещаемого внутри запаздывания количества LEV. Уровень LEV, находящийся в запаздывании, накапливается благодаря различию в темпах входящего и исходящего потоков:

8–2, L

где

LEV — уровень, находящийся в запаздывании (единицы);

DT — интервал между последовательными решениями уравнения (время);

IN — темп входящего потока, задаваемый другим уравнением системы (единицы/время);

OUT— темп исходящего потока (единицы/время).

В связи с тем, что запаздывания будут весьма часто употребляться при построении динамических моделей, для их изображения мы будем пользоваться символами (рис. 8–1 б), которые более компактны по сравнению с детализированной диаграммой, приведенной на рис. 8–1 а. На рис. 8–1 б в полуячейке со стороны входа дается обозначение переменной уровня и шифр уравнения, определяющего его величину. В трех ячейках со стороны выхода приводятся символ постоянной запаздывания, номер уравнения, определяющего темп на выходе, и «порядок» запаздывания (DI для первого порядка).