Шрифт:
Вовсе нет. Предполагается, что наше рассуждение применимо лишь к тому пониманию, которое позволяет заключить, что вычисление незавершается, но никак не к тому пониманию, благодаря которому мы приходим к противоположному выводу. Гипотетический алгоритм Aвовсе не обязан достигать «успешного завершения», обнаружив что то или иное вычисление завершается. Не в этом заключается его смысл.
Если вас такое положение дел не устраивает, попробуйте представить алгоритм Aследующим образом: пусть A объединяет в себе оба вида понимания, но в том случае, когда выясняется, что вычисление C q( n) действительно завершается, алгоритм Aискусственно зацикливается (т.е. выполняет какую-то операцию снова и снова, бесконечное количество раз). Разумеется, на самом деле математики работают иначе, однако дело не в этом. Наше рассуждение построено как reductio ad absurdum [12] , т.е. начав с допущения, что для установления математической истины используются заведомо обоснованные алгоритмы, мы в итоге приходим к противоположному выводу. Такое доказательство не требует, чтобы гипотетическим алгоритмом непременно оказался какой-то конкретный алгоритм A, мы вполне можем заменить его на другой алгоритм, построенный на основе A, — как, например, в только что упомянутом случае.
12
Приведение к абсурду (лат.), доказательство от противного. — Прим. перев.
Этот комментарий применим и к любому другому возражению вида: «А что если алгоритм Aзавершится по какой-либо совершенно посторонней причине и не даст нам доказательства того, что вычисление C q( n) не завершается?». Если нам вдруг придется иметь дело с алгоритмом « A», который ведет себя подобным образом, то мы просто применим представленное в §2.5 обоснование к немного другому A— к такому, который зацикливается всякий раз, когда исходный « A» завершается по любой из упомянутых посторонних причин.
Q4. Судя по всему, каждое вычисление C qв предложенной мною последовательности C 0, C 1, C 2, … является вполне определенным, тогда как при любом прямом переборе (численном или алфавитном) компьютерных программ ситуация, конечно же, была бы иной?
В самом деле, было бы весьма затруднительно однозначно гарантировать, что каждому натуральному числу qв нашей последовательности действительно соответствует некое рабочее вычисление C q. Например, описанная в НРК последовательность машин Тьюринга T qэтому условию, конечно же, не удовлетворяет; см. НРК, с. 54. При определенных значениях q машину Тьюринга T qможно назвать «фиктивной» по одной из четырех причин: ее работа никогда не завершается; она оказывается «некорректно определенной», поскольку представление числа nв виде двоичной последовательности содержит слишком много (пять или более) единиц подряд и, как следствие, не имеет интерпретации в данной схеме; она получает команду, которая вводит ее в нигде не описанное внутреннее состояние; или же по завершении работы она оставляет ленту пустой, т.е. не дает никакого численно интерпретируемого результата. (См. также Приложение А .) Для приведенного в §2.5 доказательства Гёделя—Тьюринга вполне достаточно объединить все эти причины в одну категорию под названием «вычисление не завершается». В частности, когда я говорю, что вычислительная процедура A «завершается» (см. также примечание [9] ), я подразумеваю, что она «завершается» как раз в вышеупомянутом смысле (а потому не содержит неинтерпретируемых последовательностей и не оставляет ленту пустой), — иными словами, «завершиться» может только действительно корректно определенное рабочее вычисление. Аналогично, фраза «вычисление C q( n) завершается» означает, что данное вычисление корректно завершается именно в этом смысле. При такой интерпретации соображение Q4не имеет совершенно никакого отношения к представленному мною доказательству.
9
Здесь я предполагаю, что если процедура Авообще завершается, то это свидетельствует об успешном установлении факта незавершаемости C( n). Если же А«застревает» по какой-либо иной, нежели достижение «успеха», причине, то это означает, что в данном случае процедура Aкорректно завершиться не может. См. далее по тексту возражения Q3и Q4, а также Приложение А.
Q5. Не является ли мое рассуждение лишь демонстрацией неприменимости некоей частной алгоритмической процедуры ( A) к выполнению вычисления C q( n)? И каким образом оно показывает, что я справлюсь с задачей лучше, чем какая бы то ни было процедура A?
Оно и в самом делевполне однозначно показывает, что мы справляемся с такого рода задачами гораздо лучше любого алгоритма. Поэтому, собственно, я и воспользовался в своем рассуждении приемом reductio ad absurdum. Пожалуй, в данном случае уместно будет привести аналогию. Читателям, вероятно, известно о евклидовом доказательстве невозможности отыскать наибольшее простое число, также основанном на reductio ad absurdum. Доказательство Евклида выглядит следующим образом. Допустим обратное: такое наибольшее простое число нам известно; назовем его p. Теперь рассмотрим число N, которое представляет собой сумму произведения всех простых чисел вплоть до pи единицы:
N = 2 x 3 x 5 x … x p + 1.
Число N, безусловно, больше p, однако оно не делится ни на одно из простых чисел 2, 3, 5, ..., p(поскольку при делении получаем единицу в остатке), откуда следует, что Nлибо и есть искомое наибольшее простое число, либо оно является составным, и тогда его можно разделить на простое число, большее p. И в том, и в другом случае мы находим простое число, большее p, что противоречит исходному допущению, заключавшемуся в том, что pесть наибольшее простое число. Следовательно, наибольшее простое число отыскать нельзя.
Такое рассуждение, основываясь на reductio ad absurdum, не просто показывает, что требуемому условию не соответствует некое частное простое число р, поскольку можно отыскать число больше него; оно показывает, что наибольшего простого числа просто не может существовать в природе. Аналогично, представленное выше доказательство Гёделя—Тьюринга не просто показывает, что нам не подходит тот или иной частный алгоритм А, оно демонстрирует, что в природе не существует алгоритма (познаваемо обоснованного), который был бы эквивалентен способности человека к интуитивному пониманию, которую мы применяем для установления факта незавершаемости тех или иных вычислений.
Q6. Можно составить программу, выполняя которую, компьютер в точности повторит все этапы представленного мною доказательства. Не означает ли это, что компьютер оказывается в состоянии самостоятельно прийти к любому заключению, к какому пришел бы я сам?
Отыскание конкретного вычисления C k( k) при заданном алгоритме А, безусловно, представляет собой вычислительный процесс. Более того, это можно достаточно явно показать [13] . Означает ли это, что предположительно неалгоритмическая математическая интуиция — интуиция, благодаря которой мы определяем, что вычисление C k( k) никогда не завершается, — на деле является все же алгоритмической?
13
Чтобы подчеркнуть, что я принимаю это обстоятельство во внимание, я отсылаю читателя к Приложению А, где представлена явная вычислительная процедура (выполненная в соответствии с правилами, подробно описанными в НРК, глава 2) для получения операции C k( k) машины Тьюринга посредством алгоритма A. Здесь предполагается, что алгоритм Aзадан в виде машины Тьюринга T a. определение же вычисления C q( n) кодируется как операция машины T aнад числом q, а затем над числом n.
Думаю, данное суждение следует рассмотреть более подробно, поскольку оно представляет собой одно из наиболее распространенных недоразумений, связанных с гёделевским доказательством. Следует особо уяснить, что оно не сводит на нетничего из сказанного ранее. Хотя процедуру отыскания вычисления C k( k) с помощью алгоритма Aможно представить в виде вычисления, это вычисление не входит в перечень процедур, содержащихся в A. И не может входить, поскольку самостоятельно алгоритм Aне способен установить истинность C k( k), тогда как новое вычисление (вкупе с A), судя по всему, вполне на это способно. Таким образом, несмотря на то, что с помощью нового вычисления действительно можно отыскать вычисление C k( k), членом клуба «официальных установителей истины» оно не является.