Изложим все это несколько иначе. Вообразите себе управляемого компьютером робота, способного устанавливать математические истины с помощью алгоритмических процедур, содержащихся в A. Для большей наглядности я буду пользоваться антропоморфной терминологией и говорить, что робот «знает» те математические истины (в данном случае — связанные с установлением факта незавершаемости вычислений), которые он может вывести, применяя алгоритм A. Однако если наш робот «знает» лишь A, то он никак не сможет«узнать», что вычисление C k( k) не завершается, даже если процедура отыскания C k( k) с помощью Aявляется целиком и полностью алгоритмической. Мы, разумеется, могли бы сообщитьроботу о том, что вычисление C k( k) и в самом деле не завершается (воспользовавшись для установления этого факта собственными пониманием и интуицией), однако, если робот примет это утверждение на «веру», ему придется изменить свои собственные правила, присоединив полученную новую истину к тем, что он уже «знает». Мы можем пойти еще дальше и каким-либо способом сообщить нашему роботу о том, что для получения новых истин на основании старых ему, помимо прочего, необходимо «знать» и общую вычислительную процедуру отыскания C k( k) посредством алгоритма A. К запасу «знаний» робота можно добавить все, что является вполне определенным и вычислительным по своей природе. Однако в результате у нас появляется новыйалгоритм « A», и доказательство Гёделя следует применять уже к нему, а не к старому A. Иначе говоря, везде вместо старого Aнам следовало бы использовать новый « A», поскольку менять алгоритм посреди доказательства есть не что иное, как жульничество. Таким образом, как мы видим, изъян возражения Q6очень похож на рассмотренный выше изъян Q5. В нашем reductio ad absurdumмы полагаем, что алгоритм А (под которым понимается некая познаваемая и обоснованная процедура для установления факта незавершаемости вычислений) в действительности представляет собой всю совокупностьизвестных математикам подобных процедур, из чего и следует противоречие. Попытку введения еще одной вычислительной процедуры для установления истины — процедуры, не содержащейся в A, — послетого как мы договорились, что Aпредставляет собой всю их совокупность, я расцениваю как жульничество.

Беда нашего злосчастного робота в том, что, не обладая каким бы то ни было пониманиемгёделевской процедуры, он не располагает ни одним надежным и независимым способом установления истины — истину ему сообщаем мы. (Эта проблема, вообще говоря, не имеет никакого отношения к вычислительным аспектам доказательства Гёделя.) Для того чтобы достичь чего-то большего, ему, как и всем нам, необходимо понимание смысла операций, которые ему велено выполнять. Если такого понимания нет, то он вполне может «знать» (ошибочно), что вычисление C k( k) завершается, а вовсе не наоборот. Заключение (ошибочное) «вычисление C k( k) завершается» выводится точно так же алгоритмически, как и заключение (правильное) «вычисление C k( k) не завершается». Таким образом, дело вовсе не в алгоритмическом характере этих операций, а в том, что для различения между алгоритмами, приводящими к истинным заключениям, и теми, что приводят к заключениям ложным, наш робот нуждается в способности выносить достоверные суждения об истинности. Далее, на данной стадии рассуждения, мы все еще допускаем возможность того, что процесс «понимания» представляет собой некую разновидность алгоритмической деятельности, которая не содержится ни в одной из точно заданных и «заведомо» обоснованных процедур типа A. Например, понимание может осуществляться посредством выполнения какого-то необоснованного или непознаваемого алгоритма. В дальнейшем (см. главу 3 ) я попробую убедить читателя в том, что в действительности понимание вообще не является алгоритмической деятельностью. На настоящий же момент нас интересуют всего лишь строгие следствия из доказательства Гёделя—Тьюринга, а на них возможность получения вычисления C k( k) из процедуры A вычислительным путем никоим образом не влияет.

Несмотря на кажущуюся логичность этого утверждения, здесь упущен из виду один очень существенный момент, а именно: способ, посредством которого мы (или компьютеры) определяем, какие математические утверждения истинны, а какие — ложны. (Во всяком случае, на простое хранениематематических утверждений способны и системы, гораздо менее сложные, нежели универсальный компьютер, — например, фотоаппараты.) Принцип использования компьютера в Q7совершенно не учитывает критического вопроса о наличии у этого самого компьютера способности суждения об истинности. С равным успехом можно вообразить и компьютеры, в памяти которых не содержится ничего, кроме перечня абсолютно ложных математических «теорем», либо случайным образом перемешанных истинных и ложных утверждений. Откуда мы узнаем, какому компьютеру можно доверять? Я отнюдь не утверждаю, что эффективное моделирование результатов сознательной интеллектуальной деятельности человека (в данном случае, в области математики) абсолютно невозможно, поскольку по одной лишь чистой случайности компьютер может «умудриться» сделать все правильно, пусть и не обладая каким бы то ни было пониманием. Однако шансы на это до абсурдного малы, в то время как те вопросы, на которые мы здесь пытаемся найти ответ (например, каким таким образом мы определяем, что вот это математическое утверждение истинно, а вот это — ложно?), в возражении Q7и вовсе не затрагиваются.

С другой стороны, Q7все же напоминает об одном более существенном соображении. Имеет ли непосредственное отношение к нашему исследованию обсуждение бесконечных структур ( всехнатуральных чисел или всехвычислений), если учесть, что совокупность всех результатов, полученных на тот или иной момент времени всеми людьми и компьютерами, имеет конечнуювеличину? В следующем комментарии мы рассмотрим этот безусловно важный вопрос отдельно.

Все верно: рассуждая в идеализированном ключе о машинах Тьюринга, незавершающихся вычислениях и т.п., мы рассматривали бесконечные (потенциально) процессы, тогда как в случае людей или компьютеров нам приходится иметь дело с системами конечными. И, разумеется, применяя подобные идеализированные доказательства к реальным и конечным физическим объектам, следует быть готовыми к тому, что такая операция непременно окажется связанной с теми или иными ограничениями и оговорками. Однако, как выясняется, учет конечной природы реальных объектов не изменяет сколько-нибудь существенно сути доказательства Гёделя—Тьюринга. Нет ничего странного в том, что мы рассуждаемоб идеализированных вычислениях, обосновываем те или иные умозаключения и выводим, математически, их теоретические ограничения. Можно, к примеру, обсуждать в абсолютно конечных терминах вопрос о том, существует ли нечетное число, являющееся суммой двух четных чисел, или существует ли натуральное число, не являющееся суммой четырех квадратов (как в приведенных выше задачах (C)и (B)), нисколько не смущаясь тем, что при рассмотрении этих вопросов мы неявно учитываем бесконечное множество всехнатуральных чисел. Мы имеем полное право рассуждать о незавершающихся вычислениях (или машинах Тьюринга вообще) как о математическихструктурах, пусть и не в силах создать на практике бесконечно работающую машину Тьюринга. (Отметим, в частности, что действие машины Тьюринга, занятой поисками нечетного числа, являющегося суммой двух четных чисел, строго говоря, практически реализовать невозможно, так как ее детали износятся гораздо раньше, чем минет вечность.) Описание любого единичного вычисления (или действия машины Тьюринга) — задача вполне конечная, а вопрос о том, завершится ли в конечном итоге это вычисление, можно полагать вполне определенным. Сначаламы доводим до логического завершения теоретические рассуждения, связанные с теми или иными идеализированными вычислениями, и лишь затемпытаемся разглядеть, каким образом наши рассуждения применимы к конечным физическим системам — таким, как реально существующие компьютеры или люди.

Ограничения конечного характера могут быть обусловлены либо тем, что (I) описание конкретного рассматриваемого вычисления оказывается слишком громоздким (т.е. число nв C nили пара чисел q, nв C q( n) оказываются слишком велики для того, чтобы их мог описать человек или реально существующий компьютер), либо тем, что (II) при внешней простоте описания вычисление, тем не менее, требует для своего выполнения чрезмерно много времени, в результате чего может показаться, что оно не завершается вовсе, хотя теоретически данное вычисление должно в конечном счете завершиться. На деле же, как мы вскоре убедимся, выясняется, что из этих двух условий сколько-нибудь существенное влияние на наши рассуждения оказывает только (I), да и оно не так уж и велико. Незначительность фактора (II), быть может, покажется вам удивительной. Существует множество относительно простых вычислений, которые в конечном счете завершаются, однако точки их завершения путем прямого вычисления не способен достичь ни один потенциально возможный компьютер. Рассмотрим, например, следующую задачу: «распечатать последовательность из 2 2 65536единиц, после чего остановиться». (В §3.26 будут предложены еще несколько подобных примеров, гораздо более интересных с математической точки зрения.) Вопрос о завершаемости того или иного вычисления не следует решать путем прямого вычисления: этот метод зачастую оказывается крайне неэффективным.

Для того чтобы выяснить, каким образом ограничения (I) или (II) могут повлиять на наши гёделевские рассуждения, пройдемся еще раз по соответствующим частям доказательства. В соответствии с ограничением (I), вместо бесконечного ряда вычислений, мы располагаем рядом конечным:

где предполагается, что число Qзадает наиболее громоздкое вычисление, какое способен выполнить наш компьютер или человек. В случае с человеком вышеприведенное утверждение можно счесть несколько туманным. Впрочем, в настоящий момент нас не особенно заботит точное определение числа Q. (Вопрос о туманности утверждений, касающихся человеческих способностей, будет рассмотрен ниже, в комментарии к возражению Q13в §2.10 .) Кроме того, можно предположить, что, попытавшись применить упомянутые вычисления к какому-то конкретному натуральному числу n, мы обнаружим, что значение nограничено некоторой фиксированной величиной N, поскольку наш компьютер (или человек) оказывается не способен работать с числами, превышающими N. (Строго говоря, следует учесть и возможность того, что число Nне является фиксированным, но зависит от того или иного конкретного вычисления C q, т.е. Nможет зависеть от q. Однако этот факт не влияет на наши рассуждения сколько-нибудь существенным образом.)