Любопытно сосчитать: сколько различных фигур можно получить таким путем? Другими словами: сколькими способами можно развернуть куб на плоскости?

Предупреждаю нетерпеливого читателя, что различных фигур не менее десяти.

ЗАДАЧА № 58 Составить квадрат

Можете ли вы составить квадрат из 5 кусков бумаги такой формы (рис. 48)?

Рис. 48

Если вы догадались, как решить эту задачу, попробуйте составить квадрат из пяти одинаковых треугольников такой же формы, как те, с которыми мы сейчас имели дело (один катет вдвое длиннее другого). Вы можете разрезать один треугольник на две части, но остальные 4 должны итти в дело нерезанными.

Рис. 49.

ЗАДАЧА № 59 Четыре колодца

На квадратном участке земли имеются четыре колодца: три рядом близ края участка и один в углу.

Рис. 50.

Участок перешел к четырем арендаторам, которые и решили разделить его между собой, но так, чтобы у всех были участки совершенно одинаковой формы, и чтобы на каждом из них находился колодец.

Можно ли это сделать?

ЗАДАЧА № 60 Куда девался квадратик?

В заключение наших занятий с разрезыванием фигур покажу читателю интересный пример разрезывания, при котором неизвестно куда исчезает кусочек фигуры.

На клетчатой бумаге обчерчиваю квадрат, заключающий в себе 64 маленьких квадратика. Затем провожу косую линию слева направо, начиная с той точки, где вверху сходятся первый и второй квадратики, и кончая правым нижним углом большого квадрата. Противоположный конец этой косой линии разрежет пополам последний квадратик справа, и в нем образуются два треугольничка. Нижний треугольничек обозначим буквой С. Всю левую часть чертежа обозначим буквой А, а правую – буквой В. Теперь разрезаю чертеж по косой линии и двигаю правую часть косо вверх по разрезу так, чтобы эта часть поднялась на один ряд квадратиков. Вверху окажется при этом маленький пустой треугольничек, а внизу направо будет выдаваться треугольничек С. Беру ножницы, отрезаю выступающий маленький треугольничек С и помещаю его вверху – там, где остался незанятый треугольник.

Рис. 51.

Он приходится сюда как раз впору.

Теперь у нас получается прямоугольник, имеющий 7 квадратиков в высоту и 9 квадратиков в ширину. Но 7x9 = 63. Значит, наш прямоугольник заключает теперь всего 63 квадратика, между тем как прежде их было 64.

Куда же девался один квадратик?

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 51-60

Решение задачи № 51

Нужно разрезать флаг по ступенчатой линии, обозначенной здесь на рисунке.

Рис. 52.

Теперь остается только передвинуть нижнюю часть флага вверх на одну ступеньку и сшить. Получится флаг уже не с 12 полосами, а с 10-ю. Он стал более продолговатым, но ни одного клочка материи не убавилось. Решение задачи № 52

Сестра разрезала квадратный кусок материи на 4 части следующим образом (пунктиром показано, как она намечала линии разреза: от вершин квадрата к середине сторон). Из этих 4 кусков сестра сшила крест (рисунок 54).

Рис. 53.

Рис. 54.

Как видите, в нем всего два шва. Решение задачи № 53

Вот как сестра сшила крест из обрезков:

Рис. 55.

Решение задачи № 54

Способ, каким сестра вырезала малый крест из большого и составила еще один крест из обрезков, показан здесь на чертежах:

Рис. 56.

Решение задачи № 55

Сделать надо так, как показано на прилагаемом чертеже. Получаются 6 частей, которые для наглядности перенумерованы.

Рис. 57.

Решение задачи № 56

Решение видно из прилагаемого чертежа 58-го. Обе части разделенной «запятой» равны между собой, потому что составлены из одинаковых частей.

Рис. 58.

Рисунок 59-й показывает, как составить круг из двух «запятых» – белой и черной.

Рис. 59.

Решение задачи № 57

Вот все различные развертки куба (рис. 60). Их 10:

Рис. 60.

Фигуры 1-ю и 5-ю можно повернуть; это прибавляет еще две развертки, и тогда общее число их будет не 10, а 12. Решение задачи № 58

Решение первой задачи видно из чертежа 61-го.

Рис. 61.

А вот как составляется квадрат из 5 треугольников (рис. 62). Один предварительно разрезают, как показано на чертеже 62-м внизу.

Рис. 62.

Решение задачи № 59

Способ размежевания земли между 4-мя арендаторами обозначен сплошными линиями на чертеже (рис. 63).

Рис. 63

Участки получаются довольно причудливой формы, – но зато у всех четырех арендаторов они совершенно одинаковы, и у каждого есть колодец. Решение задачи № 60

Секрет непонятного исчезновения 64-го квадратика открывается сразу, если тщательнее исполнить чертеж.

Рис. 64.

Вглядитесь пристально в приложенный здесь чертеж: вы заметите, что прямоугольник вовсе не составлен из 64 квадратов, как кажется при неотчетливо исполненном чертеже. Те «квадраты», которые расположены вдоль косой линии разреза, совсем не квадраты: каждая из этих фигур по площади немного более соответствующего квадратика, и из суммы этих избытков слагается недостающая площадь будто бы исчезнувшего квадратика. Подтасовка выступит яснее, если разграфить фигуру не на 64 квадратика, а всего на 4x4 = 16 квадратиков. Наоборот, чем на большее число частей разграфлена фигура, тем труднее уловить ошибку.

ЗАДАЧА № 61

Дешевый сторож

Арендатору большого фруктового сада понадобилось на целые сутки отлучиться как раз в ту пору, когда яблоки поспели и представляли наибольший соблазн для любителей полакомиться на чужой счет. Необходимо было нанять на эти сутки сторожа. Скупой арендатор долго выбирал сторожа подешевле, пока не напал на такого, который вовсе не просил денег, а довольствовался уплатой яблоками. Это понравилось арендатору.