Способ, которым Эратосфен измерил Землю, представляет собой частный случай триангуляции, использующий равнобедренный треугольник (с двумя равными сторонами). Как показано на врезке 3.2, в астрономии встречаются два подобных случая: когда базовой стороной треугольника служит размер далекого объекта, расстояние до которого мы определяем; либо когда базовая сторона находится «здесь», а далекий объект расположен в вершине треугольника.

Примером первого типа триангуляции может служить определение расстояния до Солнца, исходя из его углового размера (примерно полградуса). Если бы его истинный диаметр был бы известен, скажем, в километрах, можно было бы легко вычислить расстояние до него. Но даже в наше время мы не можем определить истинный размер с достаточной точностью, независимо от его расстояния. Не могли этого сделать и в древности. Анаксагор смело предположил, что Солнце — это светящийся камень размером с Пелопоннес (около 150 км). В этом случае метод триангуляции дает значение 17 000 км, тогда как правильное значение примерно в 10 000 раз больше (поскольку Солнце во много раз больше Пелопоннеса). Расстояние до Солнца никак не могли измерить в течение долгого времени, и только в XVII веке были сделаны довольно точные измерения.

Если базовая сторона «здесь», то она сама становится естественной единицей измерения, независимо от того, какова его длина в метрах или стадиях. С древности и до XVIII века радиус Земли служил основной единицей измерений в Солнечной системе. Как мы увидим ниже, расстояние Земля-Солнце используется как естественная база при измерении расстояний до ближайших звезд.

Посмотрим на рис. 3.46. Если у нас равнобедренный треугольник (две стороны равны R), то, зная угол при его вершине, между двумя равными сторонами, и длину базовой стороны S, мы легко можем вычислить высоту треугольника.

При астрономической триангуляции обычно астроном может измерить угол , и, как правило, этот угол весьма мал, меньше нескольких градусов. Поэтому высота в треугольнике почти равна R.

Очертив воображаемую окружность радиусом Rс центром в вершине треугольника, мы получим ту же картинку, что и Эратосфен, но в нашем случае R— это расстояние до объекта, а S— его физический размер. Длина воображаемой окружности равна S, деленной на ту часть, которую от 360° составляет угол .

Расстояние R равно длине окружности, деленной на 2. Обычно встречается два характерных случая.

• Предположим, что базовая сторона является определяемым расстоянием до далекого объекта. Отметим, что объект может быть очень далеким, если он велик, но если он близок, то может быть и мал (когда вы смотрите на палец своей вытянутой руки, его угловая толщина равна угловому размеру Луны, но Луна гораздо больше и дальше вашего пальца!). Ясно, что для вычисления расстояния R по измеренному угловому размеру объекта на небе (угол в вершине треугольника) нам нужно знать размер этого объекта ( S) в километрах. Но как вычислить его истинный размер, не зная расстояния до него? Это одна из самых трудных задач астрономии — найти «стандартный отрезок» для измерения больших расстояний за пределами нашей Галактики.

• Было бы легче, если бы базовая сторона была бы «здесь», у наблюдателя, а далекий объект находился бы в вершине треугольника. Подобно Эратосфену, мы бы измерили Sи угол (каким-то иным методом), а затем вычислили бы расстояние Rдо объекта. В сущности, используя этот метод, Эратосфен вычислил расстояние до недостижимого центра Земли.

Наряду с моделями мира, в центре которого расположена Земля, в древности были и «диссидентские» взгляды, выражавшие сомнения в некоторых базовых установках господствовавшей космологии. Гераклид Понтийский (388–315 до н. э.), ученик Платона, считал, что Земля вращается вокруг собственной оси, а суточное вращение неба — это всего лишь кажущееся явление для наблюдателя на вращающейся Земле. Гераклида чуть было не выбрали главой Академии после смерти Спевсиппа, преемника Платона, но выиграл Ксенократ с перевесом в несколько голосов. Можно предположить, что к вопросу о движении Земли отношение в Академии стало бы более внимательным, если бы выбрали Гераклида.

Аристарх Самосский (310–230 до н. э.) придумал способ определения размеров и расстояний Луны и Солнца. Он использовал Луну как промежуточный шаг к более далекому Солнцу. Сохранилась только одна его работа О размерах и расстояниях Солнца и Луны. В этой книге Аристарх объясняет, как можно измерить (а) отношение расстояний Солнца и Луны и (б) размеры Солнца и Луны, принимая радиус Земли как единицу длины. В основе метода (б) лежит затмение Луны (используется тень, отбрасываемая Землей). Требуется также знать отношение расстояний, которое определяется способом (а), по наблюдениям Луны в одной из четвертей.

В чем причина лунных фаз и лунных затмений, понял еще Анаксагор за два столетия до этого (и подробно объяснил Аристотель). Аристарх считал, что Луна — это сфера, светящаяся лишь отраженным солнечным светом. Поэтому в фазе первой или последней четверти, когда освещена половина лунного диска, Земля, Луна и Солнце составляют прямоугольный треугольник с Луной при прямом угле (рис. 3.5). Если в этот момент измерить угол между Луной и Солнцем, то можно узнать и величину оставшегося угла треугольника. После этого легко вычислить расстояние Земля-Солнце в единицах расстояния Луны от Земли. При наличии простейшего современного калькулятора вычисления не представляют никакой трудности, но для Аристарха они были трудны из-за скучных геометрических построений. Угол между Луной и Солнцем в его вычислениях был принят 87°, и он показал, что отношение расстояний до Солнца и до Луны больше чем 18:1, но меньше чем 20:1. Вычисления с помощью калькулятора дают около 19:1.

Аристарх оценил размер Луны в сравнении с Землей весьма изощренным методом, используя затмения Луны. Мы опишем его в упрощенном виде. Представим, что Солнце очень далеко; тогда за Землей образуется цилиндрическая тень, диаметр которой равен диаметру Земли. Во время затмения легко увидеть, что земная тень больше Луны, а по продолжительности затмения нетрудно вычислить относительный размер Луны и Земли. Аристарх определил, что размер Луны составлял 1/ 3размера Земли. Современное значение ближе к 1/ 4. Солнце и Луна имеют примерно одинаковый угловой размер, равный 1/ 2°. Если Солнце в 19 раз дальше Луны, которая в три раза меньше Земли, то получается, что Солнце в 19/З 6 раз больше Земли. Современные данные дают другие значения: в 400 раз дальше и в 400/4 = 100 раз больше Земли.