(а, b)+ (с, d) = (а+ с, b+ d)

(а, b)х (с, d)= (ас - bd, ad + bc)

Затем он попытался распространить систему двумерных сложных чисел до трех измерений. Поначалу это казалось довольно просто — он просто определил z = а + ib + jcс длиной, равной (а 2+ b 2+ с 2).Определение сложения тоже было довольно простым, но умножение просто не будет работать: невозможно менять сомножители местами без изменения результата. Эта проблема и числа более высокого порядка не давали ему покоя больше десяти лет. Затем, 16 октября 1843 года, он шел с женой вдоль Королевского канала, и вдруг на него снизошло озарение: нужно использовать четверки, а не тройки и отбросить закон коммутативности. В результате четверки выглядели так: z=a+ ib +jc + kd c i 2=j 2= k 2= ijk= -1. Это означало, что ij= k,но ji = -k,так что переместительный закон был отброшен. Но в целом структура была последовательной. Так возникла новая алгебра. Гамильтон остановился и вырезал формулу ножом на камне Бротонского моста. В тот день он оповестил ирландскую Королевскую академию, что на следующей встрече он желает прочитать лекцию о кватернионах — так он назвал свои четверки.

Важность этого открытия — не только в создании новой алгебры, но и в том, что математики получали свободу построения новых видов алгебры. Это первая подробная теория о некоммутативной алгебре. Свойство некоммутативности означает, что при трех измерениях общая последовательность двух вращений даст различные результаты в зависимости от того, в каком порядке они будут выполняться, в отличие от того, что происходит при двух измерениях. Оставшуюся часть жизни Гамильтон развивал новую алгебру и в 1853 году опубликовал «Лекции о кватернионах». Большая часть этой работы посвящена применению кватернионов в геометрии, дифференциальной геометрии и физике. Как мы увидим в следующей главе, Джеймс Клерк Максвелл сформулировал свои уравнения электромагнетизма в нотации кватернионов. Гамильтон был до одержимости твердо уверен, что кватернионы — ключ к полному описанию законов Вселенной. Он умер в 1865 году, почти завершив свой труд «Основы теории кватернионов», который был отредактирован и издан его сыном уже после смерти ученого.

Не только алгебра вырвалась из цепей геометрии, но и геометрия вышла за рамки пространственных концепций (см. Главу 16). И алгебру, и геометрию все больше рассматривали как абстрактные конструкции, простыми частными случаями которых были знакомая нам арифметическая алгебра и двух- и трехмерная геометрия.

Молодая американская математика проявила себя именно в области создания новых алгебр. Бенджамин Пирс (1809–1890), профессор математики в Гарварде и директор Геодезической службы, был очень впечатлен работой Гамильтона и начал широко распространять его идеи в США. Пирс начал составлять таблицы для 162 различных алгебр. Каждая алгебра начиналась с нескольких — от двух до шести — элементов, которые могли быть скомбинированы при помощи двух операций — ассоциативного умножения и сложения. В сложении всегда был нейтральный элемент ноль, однако умножение порой не имело нейтрального элемента 1. Каждая из этих «линейных ассоциативных алгебр» разворачивалась в матрицу. Из-за того что профессор Гарварда в 1870-е годы был вынужден издавать свою работу литографическим способом, некоторые заключили, что в США экономические трудности. Работа была записана переписчицей от руки и напечатана в количестве всего 100 экземпляров. Сын Бенджамина, Чарльз Сандерс Пирс (1839–1914), продолжил работу отца и показал, что из всех 162 алгебр только в трех была уникально определенная операция деления — в арифметической алгебре, алгебре комплексных чисел и алгебре кватернионов. В Англии Уильям Кингдон Клиффорд (1845–1879) создал свои алгебры (в том числе алгебру октонианов и бикватернионов). Он сделал это прежде всего для того, чтобы изучить движение в неевклидовом пространстве. Все эти новшества увели ученых далеко от той алгебры, которую знали в начале столетия.

Здесь история разветвляется на множество переплетающихся путей. Последователи Буля применили математику к логике, создав алгебраическую логику; итальянский математик Джузеппе Пеано (1858–1932), а позднее английский математик и философ Бертран Рассел (1872–1970) стремились вывести математику из логики — эту затею можно определить как логицизм. Другие ученые, тревожась из-за появления новых математических структур, начали искать твердый фундамент математики — то, на чем сможет надежно стоять все здание этой науки. О практических результатах этого поиска можно узнать из главы 23.

С середины восемнадцатого века события в дифференциальном и интегральном исчислениях шли рука об руку с развитием математического анализа физических явлений, особенно движения. Исследуемые темы включали термодинамику, астрономическую механику, гидродинамику, оптику, электричество и магнетизм. Ученые составляли дифференциальные уравнения, описывая эти явления, а затем разрабатывали методы, необходимые для их решения. Единственное точное решение было трудно найти, а потому математики сосредоточились на методах приблизительного решения. Хотя упомянутые выше явления физически выглядели совершенно по-разному, все они в некотором смысле были связаны со средой. Со времени появления ньютоновских «Начал» бушевали споры относительно реальности «действия на расстоянии»: как, например, тяготение может действовать на большом расстоянии? Что такое тяготение и магнетизм — разные проявления одной и той же силы или совершенно различные явления? Возможно ли, что пространство заполнено некоей средой, известной как эфир? Если да, то что такое эфир и каковы его свойства? Чтобы проиллюстрировать все эти вопросы, я сосредоточусь на истории теории потенциала и ее связи с электромагнетизмом.

Дифференциальное и интегральное исчисления Лейбница усложнились и теперь позволяли работать более чем с одной независимой переменной, так что можно было исследовать функцию z=t (х,у)так же, как кривую y=f(x)на плоскости. Это стало возможно благодаря появлению частичных дифференциальных уравнений, в которых каждую переменную можно было дифференцировать независимо от остальных. Взаимодействия движущихся частиц могли быть представлены дифференциальными уравнениями. Первоначальные решения Ньютона, описывавшие эллиптические орбиты планет, были получены только благодаря применению достаточно грубых упрощений, в частности утверждений, что Солнце и планеты имеют точечные массы и что каждую планету можно рассматривать независимо от всех остальных. Теперь, когда неприятие гелиоцентрической модели и эллиптических орбит было преодолено, можно было начать работу по созданию более точной и сложной модели. Одним из приемов было рассмотрение изменения энергии внутри динамической системы — речь идет о теории потенциалов, представляющей собой математический способ выразить физическую идею сохранения энергии.