31 Жизнь науки быть может и большинством философов, внутренне противоречивыми И потому по необходимости отличающимися от действительного пространства и движения, тогда как, если взгляды, излагаемые па следующих страницах, верны, то никаких внутренних противоречий в математических пространстве и движении не должно усматриваться. Однако такие соображения, лежащие вне математики, практически полностью исключены из данной работы.

По основным вопросам философии в своих главных чертах я следую Дж. Э. Муру. Я заимствую у него идею неэкзистенциального характера высказываний (за исключением утверждений существования) и их независимости от любого познающего разума. Я также принял плюрализм, рассматривающий мир, как сущего, так и сущностей, состоящим из бесконечного числа взаимно независимых сущностей, отношения которых яв-ляются исчерпывающими и не сводятся к чему-либо, зависящему от их элементов или того целого, которое они составляют. До того, как я усвоил эти взгляды от него, я был совершенно не в состоянии построить какую-либо философию арифметики, в то время как их принятие привело к немедленному освобождению от большого числа трудностей, трудностей, которые я считал непреодолимыми. Только что упомянутое учение, с моей точки зрения, совершенно необходимо для всякой сколько-нибудь удовлетворительной философии математики, что, как я надеюсь, будет видно из следующих страниц. Однако я должен предоставить моим читателям судить о том, в какой мере мои рассуждения опираются на эти принципы и в какой мере они, эти принципы, подтверждаются. Формально мои посылки просто постулируются. Но тот факт, что они позволяют математике быть истинной, чего не допускает большинство философских теорий, является сильнейшим доводом в их пользу.

В математике я больше всего обязан, как это, наверное, очевидно, Георгу Кантору и профессору Пеано. Если бы я был ранее знаком с работами профессора Фреге, то я многим был бы обязан и ему, хотя я и независимо получил ряд результатов, которые он уже установил. На каждом этапе моей работы мне помогали замечания, пример и великодушная поддержка А. Н. Уайтхеда. Он также был настолько любезен, что прочел корректуру и значительно улучшил окончательный вид очель многих мест. Ряду полезных замечаний я обязан также В. Э. Джонсону. Помимо общих положений, лежащих в основе целого, в более философских частях книга я многим обязан Дж. Э. Муру.

В попытке охватить столь обширную область невозможно было достичь исчерпывающего знакомства с литературой и несомненно есть ряд важных работ, с которыми я незнаком. Однако тогда, когда труд по размышлению и написанию по необходимости поглощает столько времени, такое незнакомство невозможно избежать, как бы печально оно ни было.

В изложении многие слова будут определяться в смысле, отличающемся от общепринятого в обиходе. Такие отступления, и я должен просить читателя этому поверить, .не являются произвольными и сделаны

по необходимости. В философских вопросах это происходит по двум причинам. Во-первых, часто бывает, что рассматривают два известных понятия и что язык имеет два названия для одного и ни одного для другого. В таких случаях в высшей степени удобно установить различие между двумя названиями, которые обычно рассматриваются как синонимы, оставив одно для обычного, а другое для дотоле безыменного понятия. Во-вторых, это идет от философских разногласий с установленными точками зрения. Когда два качества обычно получаются раздельно связанными, а здесь полагаются раздельными, название, которое обычно прилагалось к их сочетанию, будет применимо к одному пли другому. Например, утверждения обычно принимаются как: 1) истинные или ложные; 2) мыслимые. Полагая, как это делаю я, что то, что истинно или ложно, не является вообще мыслимым, я требую названия для истинного или ложного как такового и это название едва ли может быть иным, чем утверждением. В таком случае расхождение с общеупотребительным ни в коей мере не произвольно. Что касается математических терминов, то необходимость установления в каждом случал теорем существования — иными словами, доказательства того, что существую? рассматриваемые сущности, привело ко многим определениям, которые кажутся существенно отличными от понятий, обычно приписываемых рассматриваемым терминам. Таковы, например, определения кардинальных, обычных и комплексных чисел. Определение первых двух, а также ряда других случаев, определение класса (множества), полу-' ченное на основе принципа исчерпания, просто опирается на факт того, что здесь нет сомнений в теоремах существования. Однако во многих случаях такого кажущегося отличия от общеупотребительного можно сомневаться в том, насколько было бы возможным увеличить точность понятий, которые до сих пор были более или менее расплывчатыми.

При публиковании работы, содержащей столько непреодолимых трудностей, я должен принести извинения за то, что исследования не обнаружили сколько-нибудь близкую возможность удовлетворительного решения противоречий, обсужденных в главе X, или возможности лучшег® проникновения в природу множеств. Повторяющееся обнаружение ошибок в решениях, которые в свое время меня удовлетворяли, привело к тому, что эти проблемы стали казаться таквгми, что в них только скрывается кажущаяся удовлетворительной теория, которая при достаточно долгом размышлении могла быть создана. Поэтому я считаю более правильным просто отметить трудности, чем ждать, пока я буду убежден в истинности некоторых, возможно полностью неверных, положений.

Я должен выразить свою благодарность директору Университетского издательства и его секретарю г-ну Р. Т. Райту за помощь !и содействие в отношении данного томо.

Лондон, декабрь 1902 г.

Гермап Вейль родился в небольшом городке Эльмсхорн вблизи Гамбурга, в семье адвоката. Директором гимназии, где он учился, был двоюродный брат Давида Гильберта; именно в Геттингенский университет, где профессором был Гильберт, поступил в 1904 г. Вейль. Оп учился четыре года, а затем стал приват-доцентом университета. Один год Вейль провел в Мюнхене, у Клейна и Зоммерфельда; однако, женившись в 1913 г., Вейль переехал в Цюрих, где получил кафедру в Высшей федеральной технической школе.

Разносторонний по интересам Вейль интенсивно работал в различных областях математики. Вместе с голландским математиком Броуэром Вейль возглавил так называемое интуиционистское направление в математике, противостоящее формализму Гильберта. Быть может, наибольшее конкретное значение имеют работы Вейля по теории групп и инвариантов. Ныне эта область математики получила исключительное значение дли фивики, когда наиболее общие физические законы мы стремимся связывать со свойствами симметрии частиц, пространства и времени. В физике Вейль работал в области теории относительности и квантовой механики. Владея блестящим литературным стилем, Вейль много писал по методологии науки и философским проблемам естествознания. В 1930 г. Вейль принял кафедру Гильберта в Геттингене. Но это время — время наступления фашизма — было тяжким для него. В 1933 г. Вейль покидает Германию и переезжает в США. Там он становится сотрудником Института перспективных исследований в Принстоне, где уже работали Эйпштейп, Вигнер и Нейман.

В 1951 г. Вейль вернулся в Европу, в Цюрих, и его лебединой песней стала его замечательная популярная книга «Симметрия» (1952). Вскоре после своего 70-летнего юбилея Вейль умер.

Мы приводим предисловие к книге Вейля «Теория групп и квантовая механика» (1928) и предисловие к его итоговой монографии «Классические группы, их инварианты и представления» (1939).

В последнее время все более и более признается важность теоретпко-группового подхода к общим законам квантовой теории. Поскольку в течение ряда лет я был глубоко поглощен теорией представлений непрерывных групп, мне казалось существенным и важным представить отчет о достижениях математиков, работающих в этой области, в виде, соответствующем требованиям квантовой физики. Дополнительный толчок этому дает тот факт, что с чисто математической точки зрения уже невозможно проводить столь резкой грани между конечными и непрерывными группами при обсуждении теории их представлений так, как ято до сих пор делалось. Желание показать на примерах некоторых наиболее важных случаев, как возникающие в теории групп понятия находят свое приложение к физике, привело к необходимости включить короткое введение в основы квантовой физики, поскольку ко времени написания этой книги не было такого изложения, к которому я мог бы отослать читателя. Эта книга, если она достигнет своей цели, должна дать читателю возможность изучить основы теории групп и квантовой механики, так же как и понять отношение, существующее между этими двумя предметами. Математические части книги написаны, имея в виду интересы физика, так же как и обратное. Я специально подчеркиваю «взаимность» между представлениями симметричных групп перестановок и полной линейной группой. Этой зависимостью в физической литературе до сих пор пренебрегали, несмотря на то, что она естественно следует из концептуальной структуры квантовой механики.