Существует, по-моему, четко различимая параллель между современными достижениями математики и физики. Математика Запада за последние века отошла от точки зрения греков и пошла по пути, который, по-видимому, возник в Индии и был затем передан нам, с некоторыми добавлениями, арабами. В этом подходе понятие числа логически предшествует понятиям геометрии. В результате мы систематически прилагаем это далеко развитое понятие о числе ко всем отраслям науки, безотносительно к тому, насколько оно соответствует таким частным приложениям. Однако совремепная тенденция в математике несомненно направлена в сторону возврата к позициям греков. Теперь мы смотрим на каждую отрасль математики, как определяющую собственную область количественных понятий. Современный алгебраист рассматривает континуум вещественных или комплексных чисел лишь как одно «поле» среди многих. Современная аксиоматика проективной геометрии может рассматриваться как соответственное проявление той Яче тенденции в области геометрии. Эта новая математика, включающая современную теорпю групп и «абстрактную алгебру», движется силой, отличной от духа «классической математики», высшее выражение которой мы находим в теории функций комплексного переменного. Континуум вещественных чисел сохранил свою древнюю прерогативу в физике для выражения результатов физических измерений. Но справедливо можно утверждать, что сущность новой квантовой механики Гейзенберга — Шредингера — Дирака заключается в том, что она связывает с каждой физической системой набор величин, составляющих некоммутативную алгебру в точном математическом смысле, элементами которой являются сами физические величины.

Цюрих, август 1928 г.

С тех пор как мне удалось в 1925 г., комбинируя инфинитезимальныс методы Э. Картана и интегральный метод И. Шура, определить характеры полупростых непрерывных групп, я поставил своей целью вывести главные результаты для наиболее важных из этих групп, в частности, для полной группы невырожденных линейных преобразований и для ортогональной группы, прямым алгебраическим построением. Благодаря, главным образом, работам и сотрудничеству Р. Броуэра в течение последних нескольких лет, я в настоящее время обладаю всеми необходимыми для этого средствами. Задачу можно точно охарактеризовать следующим образом: разложить пространство тензоров заданного ранга на его неприводимые инвариантные подпространства относительно заданной группы линейных преобразований в полояхениом в основу векторном пространстве. Другими словами, предметом нашего изучения будут различные типы линейно преобразующихся «величин», которые можно приготовить из материала тензоров прп режиме той или иной группы. Такова проблема, образующая один из стержней этой книги, и, в соответствии с алгебраическим подходом, решение ее разыскивается не только в поле вещественных чисел, на котором анализ и физика разыгрывают свои сражения, но и в произвольном поле характеристики нуль. Однако я не пытался охватить поля простой характеристики.

Понятие алгебраического инварианта абстрактной группы у не может быть сформулировано, покуда мы не владеем понятием представления Я группы линейными преобразованиями, или эквивалентным понятием «величины типа St». Поэтому проблема нахождения всех представлений или величин группы у должна логически предшествовать проблеме нахождения алгебраических инвариантов этой группы. (По поводу понятии величин и инвариантов более общего характера и их тесной взаимосвязи отсылаем читателя к главе I, где эрлангенская программа Клейна пересказана в несколько более абстрактных терминах.) Второй моей целью является — дать современное введение в теорию инвариантов. Уже давно пора омолодить классическую теорию инвариантов, впавшую почти в окаменелое состояние. Оправданием тому, что я придерживался значительно более копсервативпого стиля, чем это, вероятно, казалось бы желательным нашему молодому поколению алгебраистов, является нежела-ппе жертвовать прошлым; но даже при этом, надеюсь, я достаточно решительно прокладывал путь к современным концепциям. Я не претендовал на то, чтобы написать монографию по современной теории инвариантов: систематическое руководство должно было бы содержать много вещей, обойденных здесь молчанием.

Как видно из предшествующего описания, предмет этой кпиги довольно специальный. Как бы важны ни были общие понятия и предложения, которыми одарило нас современное деятельное увлечение аксиоматизированием и обобщениями, распространенное в алгебре, быть может, больше, чем в какой бы то ни было другой области,— все же я убежден в том, что именно специальные проблемы во всей их сложности составляют опору и стержень математики; и преодоление их трудностей требует, вообще говоря, наиболее серьезных усилий. Разумеется, линия раздела здесь неопределенна и текуча. Однако общей теории представлений групп совершенно сознательно посвящено едва лп более двух страниц, тогда как применение этой теории к рассматриваемым группам частного вида занимает по крайней мере в пятьдесят раз больше места. Общие теории показаны здесь в их возникновении из специальных проблем, анализ которых приводит к этим теориям как действенному инструменту решения, с почти принудительной необходимостью; но однажды появившись, этп теории освещают широкую область за пределами ограниченного участка их возникновения. В этом духе мы изложим, среди прочих вещей, учение об ассоциативных алгебрах, возвысившееся в последнее десятилетие до руководящего положения в математике.

Связи с другими частями математики подчеркнуты здесь всюду, где к этому представляется случай, и несмотря на алгебраический, в основном, характер книги, не обойдены ни инфинитезимальный, ни топологический методы. Опыт подсказывает мне, что борьба с опасностью слишком сильной специализации и технизации математического исследования особенно важна в Америке. Строгая точность, достижимая математическим мышлением, привела многих авторов к манере изложения, которая должна произвести па читателя такое впечатление, как если бы он был заключен в ярко освещенную камеру, где каждая деталь выделяется с одинаково ослепляющей ясностью, но без рельефности. Я предпочитаю открытый ландшафт под ясным небом с его глубиной перспективы, где обилие отчетливо очерченных близких деталей постепенно сходит на нет по мере удаления к горизонту. В частности, горный массив топологии лежит для этой книги и ее читателя у горизонта, и потому те его части, которые следовало поместить в картину, даны лишь в грубых чертах. От читателя ожидается здесь готовность переключаться на точки зрения, отличные от принятых в алгебраических частях, и добрая воля к сотрудничеству.

Книга предназначена, главным образом, для тех, кто скромно хочет узнать изложенные в ней новые вещи, а не для гордых ученых, уже знакомых с предметом и желающих лишь получить быструю и точную справку о той или иной детали. Она не является ни монографией, ни элементарным учебником. В том же духе составлены и ссылки на литературу.

Боги наложили на мои писания путы чужого языка, не звучавшего у моей колыбели:

— хотелось бы мне сказать вместе с Готфридом Келлером. Никто более меня не почувствует связанной с этим утраты силы, легкости и ясности выражения. Если, все же, удалось избежать хотя бы грубейших ошпбок, то этим относительным достижением я целиком обязан преданному сотрудничеству моего ассистента, д-ра Альфреда Клиффорда; но еще более ценной, чем лингвистическая, была для меия его математическая критика.

Принстон, Нью-Джерси, сентябрь 1938 г.

Под именем Никола Бурбаки известна группа ученых, доставивших себе целью дать систематическое изложение всей современной математики, следуя аксиоматическому методу. Эта идея, восходящая еще к Давиду Гильберту, была осуществлена в серии монографий «Элементы математики», которая начала выходить с 1939 года. За 30 лет таким образом было написано более 40 книг. Точный состав группы, в которую входят в основном французские математики — главным образом питомцы Нормальной школы, держится в тайне. Одпако представление как об идейных истоках, так и о составе группы Бурбаки можно получить из следующего иронпческого траурного сообщения, разосланного в 1969 г. по ведущим математическим институтам мира в связи с предполагаемым прекращением деятельности этого уникального творческого коллектива. Ниже следует перевод текста, полученного в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР: