Независимое подтверждение идей Грина и Плессера появилось в том же 1989-м, через несколько дней после того, как они отправили свою статью в печать. Как сообщил Грину Канделас, ему и двум его студентам удалось, перебрав большое количество рассчитанных на компьютере многообразий Калаби-Яу, обнаружить весьма интересную особенность. Они заметили, что эти многообразия образуют пары, в которых число дырок четной размерности для одного многообразия совпадало с числом дырок нечетной размерности для второго. Обнаруженный обмен числом дырок, количеством возможных форм и размеров и числами Ходжа между двумя многообразиями весьма заинтриговал исследователей, хотя и мог быть просто математическим совпадением. По словам Грина, «вполне возможно, что их связь имела такое же отношение к физике, как связь между магазином, в котором молоко продают по доллару, а сок — по два, и магазином, в котором сок стоит два доллара, а молоко — один. Точку в этом вопросе поставило доказательство, найденное мной и Плессером, которым мы показали, что различные пары многообразий Калаби-Яу приводят к одинаковой физике. Это и стало подлинным определением явления зеркальной симметрии — из которого уже проистекали все прочие следствия, — и это гораздо больше, чем простая перестановка двух чисел».[101]

По словам Грина, эти два направления исследований были не только параллельными, но и «взаимодополняющими». В то время когда они с Плессером углубились в исследование физической природы указанных совпадений, Канделасу со своими студентами при помощи их компьютерной программы удалось обнаружить огромное количество многообразий Калаби-Яу, для которых числа Ходжа образовывали зеркальные пары. Когда эти статьи вышли в свет (обе в 1990 году), Грин объявил, что «зеркальная симметрия теории струн» окончательно установлена.[102]

По словам Кумруна Вафы, он был счастлив, увидев доказательство, в которое он внес заметный вклад, — хотя и никогда не сомневался в существовании зеркальной симметрии. «Я иногда говорю, что если бы мы сформулировали эту теорию без каких-либо известных примеров, то это было бы намного более смелым шагом с нашей стороны», — иронизирует он.[103]

Сначала я был настроен по отношению к исследовательской программе Вафы и Грина скептически, поскольку, как я неоднократно говорил им, все многообразия Калаби-Яу, обнаруженные на тот момент, имели отрицательные эйлеровы характеристики. Если их предположения имели под собой реальную основу и многообразия с противоположными знаками эйлеровых характеристик действительно образовывали пары, то число многообразий с положительными эйлеровыми характеристиками должно было быть примерно таким же, как и число многообразий с отрицательными эйлеровыми характеристиками, поскольку эйлеровы характеристики многообразия и его зеркального партнера имеют противоположные знаки. К счастью, эти рассуждения не заставили Вафу, Грина, Плессера и других отказаться от исследований, посвященных поиску нового типа симметрии. Мораль этой истории заключается в том, что, вместо того чтобы заранее делать ставки на возможность или невозможность чего-либо, лучше просто взять и проверить. Вскоре после этого нами было обнаружено огромное количество многообразий Калаби-Яу с положительными эйлеровыми характеристиками — достаточно большое, для того чтобы я мог отбросить свои первоначальные сомнения.

Вскоре я попросил Грина выступить перед собранием математиков с докладом по вопросу зеркальной симметрии; этот доклад собирался посетить, в том числе, и такой авторитет, как И. М. Зингер из Массачусетского технологического института. Будучи физиком по образованию, Грин весьма переживал по поводу выступления перед таким большим скоплением людей. Я же посоветовал ему как можно чаще в своей лекции использовать слово «квантовый», зная, какое впечатление оно производит на математиков. Так, зеркальную симметрию я предложил ему описать в терминах «квантовой когомологии» — термина, пришедшего мне в голову в это время.

Объектом исследования когомологии являются циклы, или петли на многообразии, а также типы их пересечения. Циклы, в свою очередь, связаны с подповерхностями в пределах многообразия, также называемыми подмногообразиями, не имеющими границ. Чтобы лучше понять, что имеется в виду под понятием подмногообразия, представьте себе кусок швейцарского сыра в форме шара. Можно, рассматривая этот сырный шар как единое трехмерное пространство, попробовать завернуть его в полиэтиленовую пленку. Но и внутри этого шара можно также найти сотни дырок — подповерхностей в пределах большей поверхности, — которые тоже можно чем-то покрыть или что-то через них пропустить, например резиновую ленту. Подмногообразие представляет собой геометрический объект с четко определенными размером и формой. Для физика цикл — это просто менее строгое определение петли, основанное исключительно на ее топологии, тогда как большинство геометров не видят никакой разницы между циклом и подмногообразием. Тем не менее мы стремимся использовать циклы — подобные окружностям, проходящим через дырку бублика, — для того, чтобы получить информацию о топологии многообразия.

Физикам знаком метод, позволяющий связать квантовую теорию поля с заданным многообразием. Однако поскольку многообразие, как правило, имеет бесконечное число циклов, они обычно прибегают к аппроксимации, сводящей это бесконечное число к конечному, с которым уже можно свободно обращаться. Этот процесс носит название квантования — взяв величину, которая может принимать бесконечное число возможных значений, например частоты радиоволн в FM-диапазоне, только о некоторых из них говорят как о разрешенных. Подобный процесс приводит к введению квантовых поправок в исходное уравнение, которое описывает циклы и, следовательно, когомологию. По этой причине говорят именно о квантовой когомологии.

Как оказалось, существует не единственный способ введения квантовых поправок. Благодаря зеркальной симметрии для любого многообразия Калаби-Яу можно построить эквивалентный ему с физической точки зрения зеркальный партнер. Многообразия, являющиеся зеркальными партнерами, описываются двумя различными по виду, но эквивалентными по сути вариантами теории струн, типа IIA и типа IIB, которые описывают одну и ту же квантовую теорию поля. Мы можем сделать эти расчеты относительно легко для модели В, где квантовые поправки оказываются равными нулю. Расчет же для модели А, в которой квантовые поправки в нуль не обращаются, практически невозможен.

Примерно через год после выхода статьи Грина и Плессера, внимание математического сообщества привлекло новое открытие в области зеркальной симметрии. Канделасу, Ксении де ла Осса, Полу Грину и Линде Паркс удалось показать, что зеркальная симметрия может оказать помощь при разрешении математических задач, в частности в области алгебраической и нумеративной геометрии, в том числе некоторых из тех, что не поддавались математикам на протяжении десятилетий. Задача, которую рассмотрел Канделас со своими коллегами, носила название задачи трехмерной поверхности пятого порядка и в то время была у всех на слуху. Свое второе название — задача Шуберта — она получила в честь немецкого математика XIX века Германа Шуберта, решившего ее первую часть. Задача Шуберта имеет отношение к определению количества рациональных кривых — то есть кривых рода 0, не имеющих дырок, таких как сфера, — которые можно провести на многообразии Калаби-Яу пятого порядка (шестимерном).