Лемма 3. Несчетность = Неупорядоченность

Фактически именно это и доказал Кантор. За изначально постулированный порядок в С несет ответственность аксиома выбора (АС). Она утверждает, что в любом множестве можно выбрать любую точку, не предлагая конструктивной процедуры, кроме одной – ткнуть пальцем. И поэтому последовательным случайным перебором можно исчерпать любое множество. Искусственность этой аксиомы вызвала у многих математиков сомнения в ее правомочности, хотя законов дедукции АС не нарушает. Так или иначе, мы ведь тоже убеждены, что можем своим умом локализовать любую точку в прошлом или будущем. Что нам мешает мысленно заглянуть в Юрский период или в сингулярность Большого взрыва? Или хотя бы в завтрашний день, который мы себе уже заранее расписали по часам и даже минутам?

Лемма 3 основывается на тезисе о том, что дискретность (счетность) всегда тождественна детерминизму (порядку). Этого же требует и физический релятивизм: причинность обеспечивается конечной скоростью передачи сигнала, а реальность внутри светового конуса должна быть дискретной (квантовой). То, что ОТО требует квантованного времени, вытекает из ее внутренней противоречивости, поскольку, основываясь на континуальной геометрии, она позволяет сформулировать внутри себя некую единицу длины – гравитационный радиус для масс покоя. Поэтому естественным продолжением ОТО считается квантовая гравитация (КГ), в которой вводится Планковская длина вместе с Планковским временем (1). Это делает дискретность несомненной. При этом СТО, основываясь лишь на одной фундаментальной величине – скорости света, на первый взгляд противоречия не создает. Тем не менее мы приходим к логическому выводу, что СТО так же требует дискретной геометрии. Достаточно признать, что скорость света является отношением фундаментальных единиц пространства и времени.

Лемма 4. Дискретность = Релятивизм = Причинность

Но возможно ли, чтобы мир был квантовым, а причинность в нем нарушалась? Применительно к математическому континууму это значило бы, что он не превосходит по мощности , но в отличие от натурального ряда почему-то не может считаться строго детерминированным, являясь хаотическим или содержа в себе нечто неуловимое. Результат Кантора следует тогда толковать не количественном смысле, а в качественном. Континуум С больше множества натуральных чисел N не потому, что за бесконечностью находятся новые числа: и т.д. (как это, например, было допущено в так называемой «теории трансфинитов», играющей на актуальной и потенциальной бесконечности и порождающей череду несчетных мощностей). Мы имеем одну-единственную бесконечность. Все зависит от того, как мы не нее «смотрим». Мы видим бесконечность по-разному. Это скорее вопрос для теории сознания, чем для математики.

Его можно обосновать так. После того как Гедель показал, что СН не противоречит стандартной теории множеств (ZF или NBG плюс AC), а затем Коэн «форсировал» этот результат доказательством, что отрицание СН также не приводит к противоречию, стало ясно, что гипотеза Кантора независима от созданной им теории. В заключении своего весьма обширного труда Коэн высказался так: «Точка зрения, которая, как предчувствует автор, может в конце концов стать принятой, состоит в том, что СН является, очевидно, ложной… Мы закончим эту книгу замечанием, что проблема СН не относится к числу тех, от которых можно избавиться, исключив из рассмотрения тот тип, к которому принадлежат множества действительных чисел» [14].

Физике для удовлетворения ее собственных нужд достаточно, чтобы математический анализ работал, и он успешно это делает. Но в самой математике этот анализ, основанный на континууме действительных чисел, оказывается в подвешенном состоянии. Это не значит, что он ложен. Но это может значить, что такой анализ, «построенный на песке» по выражению Г. Вейля [15], неявно для нас самих, скрывает в себе какую-то замечательную тайну. В нашем понимании это может подразумевать только одно: СН апеллирует к таким свойствам нашего мышления, которые не отражены в теории множеств. Возможно, эта тайна откроет нам глаза на нашу реальность и нас самих в ней.

Так что есть точка – бесконечно малая величина или ничто? Если она равна нулю, т.е. ее мера Лебега равна нулю, то и континуум С, как объединение всех точек, имеет нулевую меру, т.е. он в физическом смысле сингулярен. Т.о. точка должна иметь протяженность. Но если она является очень маленьким отрезком, которыми можно замостить С, то их число должно быть счетным. Иначе говоря, континуум состоит из дифференциалов счетной бесконечности и еще чего-то между ними, что и создает непроницаемый фон: невозможно найти в С дыру, которая не была бы числом. Вообще говоря, было бы очень странно, если бы, ковыряясь в числах, мы нашли среди них сапоги, и поэтому непроницаемый однородный континуум выглядит даже очень правильно с точки зрения нашей логики, которая не терпит оксиморонов.

Действительные (и комплексные) функции положены в основу математической физики. Но когда физик дифференцирует какую-нибудь функцию f, он лишь определяет через производную как изменяется во времени эта функция, используя точно разработанный языковой аппарат, никак не предполагая при этом, что время является квантовым и дифференциал dt есть тот самый Планковский квант времени, поскольку математический анализ изначально создавался явно или по умолчанию для континуального Риманова пространства. Действительная прямая принимается в математике всюду плотной и состоящей из бесконечно малых величин, которые не равны нулю. Ведь складывать нули бесполезно. Как объединение точек несчетный континуум C можно представить счетным множеством – суммой точек конечной меры (дифференциалов), между которыми есть еще некая неопознанная величина x:

Разумно предположить, что x и есть ничто, нуль. Так что же такое нуль? Он ведь тоже экзистенциален. По крайней мере, мы успешно им пользуемся. И он не дифференциал. Континуум-гипотеза Кантора основана на несчетности континуума C, в то время как его полная упорядоченность, из которой и делается вывод о несчетности с помощью диагонального метода, есть только предположение о том, что любые два числа можно сравнить: